Matematyka.pl

Udowodnij nierówność x^2 + y^2 + z^2 >=xy +yz + zx dla dowolnych liczb rzeczywistych
x, y, z . W oparciu o tę nierówność wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a spełniona jest nierówność

Ja proponuję w przypadku obu nierówności pomnożenie stronami przez 2.

potem jeszcze trzeba cos odjac stronami i przypomniec sobie wzory skroconego mnozenia. a zeby dowiesc drugiej to tak dobierz x,y,z zeby sie zgadzalo.

Do czego próbować to zwinąć? Do (a+b+c)^2 ? A potem to mam tę nierówność podstawić w całości do drugiej, tylko podstawić za x,y,z np. sqrt{a}, albo a ?

Nie... musisz dostać wynik, mówiący, że suma trzech kwadratów jest nieujemna... Powiedz, czy chcesz sam do tego dojść, czy nie, bo już dalej doprowadzać nie jestem w stanie...

Chyba jednak potrzebuję łopatologicznego wyjaśnienia, bo po świętach nie mogę się pozbierać , za dużo lenistwa... Proszę o rozwiązanie.

zrob co mowimy i pokaz gdzie jestes.

Otóz daleko jestem, bo nie mogę załapać co mam robić. Nie wiem, co mi da mnożenie przez 2, jedyny sensowny wzór do użycia to mi wygląda na kwadrat sumy trzech niewiadomych, bo inne tu nic nie pomogą, a nawet przy tym wzorze muszę sporo tego na drugą stronę wyrzucić i to mi nic nie daje.

Do Arka: ale suma trzech kwadratów, czegokolwiek pod tym nie rozumiesz, to jest zawsze nieujemna chyba? Bo chyba dalej nie rozumiem...

Ok, nie będziemy Cię męczyć...

Oto rozwiązanie:

x2+y2+z2 >=xy+ xz + yz (mnożymy razy 2)

2x2+2y2+2z2 >=2xy+ 2xz + 2yz =>

x2 + y2 + x2 + z2 + y2 + z2 >= 2xy + 2xz + 2yz =>

x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 >=0 =>

(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 >=0

I to kończy dowód...

Z drugą nierównością trzeba podobnie postąpić...

Tak jak popowiada Arek mnożymy przez 2



I przerzucamy wszystko na lewą strone





I zwijasz w kwadraty



Teraz już chyba wiesz co dalej

No cóż, jak mówiłem ślepy jestem, bo to banalne

Nierownosc druga mozemy pokazac w nieco inny sposob, a mianowicie:
Polozmy sqrt(a)=t. Wtedy nasza nierownosc przyjmie (po uporzadkowaniu) postac:

t6-t4-t3+t2-t+1 >= 0

Lewa strone (oznaczmy ja W(t)) mozemy teraz ladnie pozwijac:

W(t)=t4(t2-1)-t2(t-1)-(t-1)=(t-1)(t5+t4-t2-1)=
=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+t2(t3-1)]=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+(t-1)t2(t2+t+1)]=
=(t-1)2(t4+t3+2t2+1)
Widac, ze dla kazdego dodatniego t zachodzi W(t) >= 0, co konczy dowod.