Matematyka.pl

Oblicz sumę szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}\)

Zobacz ile wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}}\)
A dalej pokombinuj.

Rozbij to na ułamki proste, podpowiem, że będą takiego typu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) to jakieś stałe, które należy obliczyć

Dziękuję za odpowiedź, już wiem jak rozwiązać to zadanie. Jednak to nie jest jeszcze główny temat mojego problemu (myślałem, że ten przykład mi pomoże), który polega na policzeniu sumy takiego szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)...(n+m)}}\) , gdzie \(\displaystyle{ m \in N}\)

Aha wiem, że wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{m \cdot m!}}\) (sprawdziłem przypadki w Wolframie)

Robi się analogicznie. Oblicz

\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3) \cdots (n+m)}.}\)

Dziękuję bardzo za pomoc, już sobie poradziłem z tym zadankiem