Matematyka.pl

Mam problem jak pokazać że nie istnieje izomorfizm pomiędzy \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) a \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Czy mógłby ktoś pomóc?

W \(\displaystyle{ \RR}\) nie ma elementu, który podniesiony do kwadratu daje \(\displaystyle{ -1}\). To jeden z powodów nieistnienia izomorfizmu.

dziękuję za odpowiedź. Przepraszam nie spprecyzowałem pytania. Chodziło mi o izomorfizm pomiędzy grupami \(\displaystyle{ \left(\mathbb{R},+ \right)}\) a \(\displaystyle{ \left( \mathbb{C,+}\right)}\). Ten argument wtedy chyba nie działa.

Ponieważ te grupy są izomorficzne, więc możesz mieć problem z udowodnieniem, że taki izomorfizm nie istnieje. Zobacz tu: ... 615024.pdf Proposition 4.

Grupę addytywną ciała charakterystyki \(\displaystyle{ 0}\) można zawsze traktować jak przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Skoro ich moce są równe i nieprzeliczalne to mają równoliczne bazy, a zatem muszą być izomorficzne jako przestrzenie wektorowe. Zatem jako grupy również.