Matematyka.pl

Jak się to liczy \(\displaystyle{ S \left( 6,4 \right)}\)??

[ Dodano: 15 Marzec 2007, 22:57 ]
Należy obliczyć ile jest podziałów zbioru \(\displaystyle{ \left[ n \right] = \left[ 6 \right]}\) na \(\displaystyle{ k=4}\) bloki
Do obliczenia należy wykorzystać wzór
\(\displaystyle{ S \left( n,k \right) =S \left( n-1,k-1 \right) + kS \left( n-1,k \right)}\)

Czy ktoś może wytłumaczyć co się dzieje od 2 połowy 2 linijki, bo się zgubiłem?

Moim zdaniem można to zrobić bez zawiłych rachunków zliczając te zbiory, gdyż te liczby są małe.

Dzieląc zbiór 6-elementowy na 4 bloki mamy dwie mozliwości, albo 3 singletony i 1 zbiór trzyelementowy, albo dwa zbiory dwuelementowe i dwa singletony.

Dla pierwszej mozliwości wyborów jest \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\), ponieważ każdy różny podział ze zbiorem 3-elementowym jest jednoznacznie wyznaczony przez trójkę wybraną do tego zbioru.

Drugiej możliwości jest \(\displaystyle{ \frac{ {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{2}}\) - tutaj podobnie, liczba podziałów jest jednoznacznie wyznaczona przez dwójki wybrane do zbiorów dwuelementowych (dzielimy przez dwa bo inaczej każdy wybór zbiorów liczylibyśmy dwukrotnie)

Razem sumując również otrzymuje się 65.

Suma nie zgadza mi się tego co napisałeś. Korzystam z symbolu Newtona

Hefajstos1 pisze:Czy ktoś może wytłumaczyć co się dzieje od 2 połowy 2 linijki, bo się zgubiłem?

Stosuje się wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ S(5,4)}\) a potem zbiera identyczne wyrazy w jedno miejsce i znów rekurencja.

Jeśli gubisz się na tak banalnych obliczeniach, to jest bardzo niedobrze...

\(\displaystyle{ {6 \choose 3} = 20}\)
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} =15}\)
\(\displaystyle{ {4 \choose 2} = 6}\)

\(\displaystyle{ {6 \choose 3} + \frac{ {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{2} = 20 + \frac{15*6}{2}= 20 + 45 = 65}\)