Matematyka.pl

Witam mialem dzisiaj na kolokwium nastepujace zadanie

Wiedzac, ze \(\displaystyle{ \cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}\)

przedstawic liczbe w postaci trygonometrycznej :
\(\displaystyle{ \left(\sin ^2 x+\cos x\left(\cos x+1\right)+ i\sin x\right) ^{n}}\)

Przeksztacilem to wyrazenie do \(\displaystyle{ \left( 1+\cos x +i\sin x\right)^n}\) no i nie wiedzialem jak skorzystac z tego 'wiedzac,ze'. Moglby ktos rozwiazac to zadanie bylbym wdzieczny ;]

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ x ; \cos x=1}\)?

\(\displaystyle{ 1+\cos x+ i \sin x= 2\cos^2 \frac{x}{2}+2i\cos \frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}=2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+i\,\sin\frac{x}{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ \left(1+\cos x+ i \sin x \right)^n=\left[2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+i\,\sin\frac{x}{2}\right) \right]^n=}\)

\(\displaystyle{ =\ \blue2^n\cos^n\frac{x}{2}\left(\cos\frac{nx}{2}+i\,\sin\frac{nx}{2}\right)}\)