Strona 1 z 1
układ kongruencji
: 17 lis 2012, o 14:57
autor: Kasik22
Mam takie pytanie, czy ten układ równań ma rozwiązania?
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x \equiv 1 (mod 1111)\\ x \equiv 22 (mod 22222) \\x \equiv 555 (mod 555555)
\end{cases}}\)
Jeśli ma, bądź też nie ma rozwiązań proszę o komentarz do tego, z góry dziękuje
układ kongruencji
: 17 lis 2012, o 16:36
autor: Rogal
Znasz twierdzenie chińskie o resztach?
układ kongruencji
: 7 gru 2012, o 19:33
autor: Kasik22
tak i wiem, że powyższy układ nie ma rozwiązań, ponieważ liczby przy modulach nie są parami względnie pierwsze
pozdrawiam
układ kongruencji
: 9 gru 2012, o 19:49
autor: Rogal
A to twierdzenie rozstrzyga co się dzieje, gdy moduły nie są parami względnie pierwsze?
układ kongruencji
: 15 gru 2012, o 19:17
autor: Kasik22
Niestety nie:/, wówczas należy spróbować rozwiązać ten układ kongruencji i czasem znajdziemy rozwiązanie, a czasem nie. Trzeba być ostrożnym
układ kongruencji
: 15 gru 2012, o 23:18
autor: JakimPL
Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1 \pmod {1111}\\ x \equiv 22 \pmod {22222} \\x \equiv 555 \pmod {555555} \end{cases}}\)
Z pierwszego mamy oczywiście \(\displaystyle{ x=1111n_1+1}\), wstawiamy to do drugiego:
\(\displaystyle{ 1111n_1+1\equiv 22\pmod {22222}}\)
Po rozwiązaniu mamy \(\displaystyle{ n_1=22222 n_2 + 10901}\). Stąd \(\displaystyle{ x=1111(22222 n_2 + 10901)+1}\). Wstawiając do ostatniego:
\(\displaystyle{ 1111(22222 n_2 + 10901)+1\equiv 555 \pmod{555555}\\
24688642 n+12110457\equiv 0 \pmod{555555}}\)
No i tu już rozwiązań nie ma (widać, dlaczego?).