Matematyka.pl

Dosyć długo już nad tym dumam i nie mogę dojść do rozwiązania.

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } + \frac{1}{ \sqrt{n+2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right)}\)

Wynik: \(\displaystyle{ 2 \left( \sqrt{2} -1 \right)}\)


\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{ \sqrt{1 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3} + ... + \sqrt{n \left( n+1 \right) } }{n} - \frac{n}{2} \right)}\)
Wynik: \(\displaystyle{ 1}\)


Bardzo proszę o jakąś wskazówkę.

Zacznijmy od przykładu pierwszego.

Zakładam, że twierdzenie znasz. Jaki tutaj będzie ciąg w mianowniku a jaki w liczniku? (to dość oczywiste, ale skoro nie możesz zrobić przykładu, to pytam.)

Chyba, że problem pojawia się gdzieś później, to napisz, gdzie dokładnie.

W mianowniku i w liczniku muszą być ciągi rozbieżne do \(\displaystyle{ \infty}\). W mianowniku ciąg musi być dodatkowo rosnący.

Próbowałam sprowadzić wszystkie wyrazy do wspólnego mianownika i wtedy wykorzystać to twierdzenie. Nie widzę jednak jak mogę uprościć to wyrażenie.

Ciąg w liczniku nie musi być rozbieżny.

Gdyby twierdzenie Stolza wymagało sprowadzenia tego czegoś do wspólnego mianownika, to wątpię, żeby komukolwiek chciało się z niego korzystać.

Próbuję więc skorzystać z tego tw. bezpośrednio, tj. niczego nie przekształcająć.
Dostaję:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n}} \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) - \frac{1}{ \sqrt{n-1} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{2 \left( n-1 \right) } } \right)}\)

Co dalej? Nic ładnego mi z tego nie chce wyjść.

Bo źle używasz.

W takim razie, jak brzmi twierdzenie Stolza?

Czyli powinno być:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{n+1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n} } \right) = \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n(n+1)} - \sqrt{(n-1)n} } + \frac{1}{ \sqrt{n(n+2)} - \sqrt{(n-1)(n+1)}} +...+ \frac{1}{ \sqrt{2n^2} - \sqrt{2(n-1)^2} }}\)

Czy teraz jest poprawnie? Jaki jest nastepny krok?

Nie nie jest poprawnie. Nie znasz/Nie rozumiesz tego twierdzenia.

Jaka jest treść twierdzenia Stolza?

Jeśli ciąg \(\displaystyle{ b_n}\)jest rosnący i rozbieżny i istnieje granica

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}= g}\)

wówczas granica

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}}\)

również istnieje i równa jest g.
(indeksy 'n' można zastąpić 'n-1' oraz 'n+1' zastąpić 'n' - jest to równoważne)


Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

mrsemily pisze:Jeśli ciąg

(...)

Korzystam więc z tego dla każdego z ułamków

Tutaj. Trzeba te wszystkie ułamki potraktować jako cały ciąg, żeby to coś dało.

Czy granica sumy nie jest sumą granic...?
Jeśli nie mogę tak zrobić, to muszę po granicy mieć jeden ułamek. Chyba jedynym sposobem jest sprowadzenie do wspólnego mianownika.

Zależy kiedy, ale to nawet nie o to chodzi. Jeżeli użyjesz twierdzenia Stolza dla każdego ułamka oddzielnie, dostaniesz tyle samo ułamków, ile miałaś na początku. To twierdzenie ma pomagać, a nie jeszcze utrudniać.

Najpierw musisz zrozumieć, co robisz źle.

Może zrób najpierw prosty przykład.

Oblicz granicę (korzystając z tw. Stolza):

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\)

Ja zrobiłam już dokładnie 12 przykładów korzystając z tego tw. i wychodziło mi dobrze. Dopiero na tych dwóch się zatrzymałam. Chyba już wiem o co chodzi.


\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{ \sqrt{n+1}} + ... + \frac{1}{ \sqrt{2n}} - \frac{1}{ \sqrt{n}} + ... - \frac{1}{ \sqrt{2n-2}} }{ \sqrt{n} - \sqrt{n-1} }}\)

Wtedy po skróceniu zostają tylko trzy wyrazy w liczniku i wynik jest dobry. Czy teraz się zgadza?

Tak, dobrze.

Dziękuję za pomoc