Istnienie funkcji zespolonej

[Wojtolino]

Witam! Proszę o pomoc z zadaniem:
Czy istnieje ciągła funkcja \(\displaystyle{ \Gamma : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\) taka, że \(\displaystyle{ \Gamma|_{\mathbb{C} \setminus \left\{ 0\right\}}=f}\), gdzie
a) \(\displaystyle{ f(z)= \frac{z}{\left| z\right| }}\),
b) \(\displaystyle{ \frac{z\Re z}{\left|z\right| }}\).
Z góry dziękuję.

[brzoskwinka1]

a) nie
b) tak

[Wojtolino]

Dobra, tylko skąd to wiedzieć? Zbadać granicę w zerze i... No i właśnie, co?

[Dasio11]

Jeśli granica istnieje, to można zdefiniować

\(\displaystyle{ \Gamma (0) = \lim_{z \to 0} f(z),}\)

i wtedy \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest ciągła.
Jeśli granica nie istnieje, to nie da się tak określić wartości \(\displaystyle{ \Gamma}\) w zerze, żeby funkcja była ciągła, czyli taka \(\displaystyle{ \Gamma}\) nie istnieje.