Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P_{1} ,P _{2}}\)beda prawdopodobienstwami okreslonymi na \(\displaystyle{ \sigma - ciele \mathcal{F}}\). Udowodnij, ze funkcja \(\displaystyle{ P: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}}\) dana wzorem \(\displaystyle{ P\left( A\right) =a \cdot P_{1}\left( A\right) +b \cdot P_{2}\left( A\right) , A \in \mathcal{F}}\) jest prawdopodobienstwem dla dowolnych liczb nieujemnych a i b takich, ze \(\displaystyle{ a+b=1}\).

Jaki masz problem z tym zadaniem? Wiesz jakie aksjomaty spełnia miara probabilistyczna?

niby tak,ale nie wiem jak z nich skorzystac

Pokaże Ci jak pierwsze rozpisać, resztę będziesz musiała sama rozpisać.
Wiemy, że \(\displaystyle{ P_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}}\) są miarami probabilistycznymi, zatem\(\displaystyle{ P_{1}(\o)=P_{2}(\o)=0}\), czyli \(\displaystyle{ P(\o)=a\cdot P_{1}(\o)+b\cdot P_{2}(\o)=a\cdot 0+b\cdot 0=0}\). Zatem P spełnia pierwszy aksjomat miary probabilistycznej.
Aby pokazać drugi weź ciąg parami rozłącznych zbiorów, wiesz ponadto, że \(\displaystyle{ P_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2}}\) są miarami probabilistycznymi. Spróbuj z tego wyciągnąć, że P także spełnia ten aksjomat.
Trzeci aksjomat pokazuje się bardzo podobnie jak pierwszy.