Matematyka.pl

Na ile roznych sposobow mozna wlozyc n zaadresowanych kopert tak by tylko dwie dostaly swoj list?

Chyba brakuje części treści, ale jeśli dostanie listu zależy tylko od włożenia go do koperty, to wydaje mi się, że problem redukuje się do wybrania spośród \(\displaystyle{ n}\) dwóch osób, które mają dostać swój list, co można zrobić na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów, oraz pomieszania reszty kopert: pierwsza koperta może mieć włożone \(\displaystyle{ n-3}\) różnych listów (z których żaden nie będzie tym właściwym), druga koperta \(\displaystyle{ n-4}\) listów itd. Czyli ostatecznie wynikiem będzie \(\displaystyle{ {n \choose 2}\cdot \left(n-3\right)!}\)

vpprof pisze:Chyba brakuje części treści, ale jeśli dostanie listu zależy tylko od włożenia go do koperty, to wydaje mi się, że problem redukuje się do wybrania spośród \(\displaystyle{ n}\) dwóch osób, które mają dostać swój list, co można zrobić na \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) sposobów, oraz pomieszania reszty kopert: pierwsza koperta może mieć włożone \(\displaystyle{ n-3}\) różnych listów (z których żaden nie będzie tym właściwym), druga koperta \(\displaystyle{ n-4}\) listów itd. Czyli ostatecznie wynikiem będzie \(\displaystyle{ {n \choose 2}\cdot \left(n-3\right)!}\)

Zgodzę się z wyrażeniem \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\), lecz \(\displaystyle{ \left(n-3\right)!}\) już się niestety nie sprawdzi. Wyobraź sobie sytuację, że któraś z osób dostanie kopertę innej i w tym momencie dla tej 2 osoby już nie będziemy musieli odejmować jej właściwej koperty (gdyż już została przydzielona).

Mala-Mi pisze:Zgodzę się z wyrażeniem \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\), lecz \(\displaystyle{ \left(n-3\right)!}\) już się niestety nie sprawdzi. Wyobraź sobie sytuację, że któraś z osób dostanie kopertę innej i w tym momencie dla tej 2 osoby już nie będziemy musieli odejmować jej właściwej koperty (gdyż już została przydzielona).

Dla każdej kolejnej osoby listów do wyboru będzie o 1 mniej. Zgadzasz się?

Jednocześnie dla trzeciej osoby (czyli pierwszej, która nie dostanie swojego listu) mamy \(\displaystyle{ n-2}\) listów. Jeden z nich jest jej właściwym, więc po jego odrzuceniu mamy \(\displaystyle{ n-3}\) listów. Zgadzasz się?

Łącząc dwa powyższe spostrzeżenia, otrzymujemy wyrażenie \(\displaystyle{ \left(n-3\right)!}\), które opisuje liczbę sposobów, na jakie można niewłaściwie przydzielić \(\displaystyle{ n-2}\) osobom listy.