Matematyka.pl

Witam. Potrzebuje pomocy z tym przykładem. Wiem że należy jakoś rozpisać sinusa aby otrzymać szereg przemienny, ale nie wiem jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left[ \left( n+ \frac{1}{n} \right) \pi \right]}\)

Popatrz, że

\(\displaystyle{ \sin \left[ \left(n+\frac{1}{n} \right) \pi \right] = \sin \left( n \pi + \frac{\pi}{n} \right) = \sin n \pi \cos \frac{\pi}{n} + \cos n \pi \sin \frac{\pi}{n}.}\)

Wiadomo, że

\(\displaystyle{ \sin n \pi = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos n \pi = (-1)^n}\)

dla całkowitych \(\displaystyle{ n,}\) więc

\(\displaystyle{ \sin n \pi \cos \frac{\pi}{n} + \cos n \pi \sin \frac{\pi}{n} = (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}.}\)

Twój szereg można więc zapisać inaczej jako

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin \frac{\pi}{n}.}\)

Teraz można skorzystać z kryterium Leibniza, sprawdziwszy, że spełnione są założenia.