Matematyka.pl

Zadanie ma treść :Sprawdź czy następujące podzbiory przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) są podprzestrzeniami wektorowymi. Jeśli tak, to wyznaczyć bazy i określić wymiary podprzestrzeni.
\(\displaystyle{ U=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}: x-3y+2z=0 \right\}}\)
Zadanie wykonuję w wyuczony sposób tak:
\(\displaystyle{ v_{1}=\left(x_1,y_1,z_1 \right): x_1-3y_1+2z_1=0}\)
\(\displaystyle{ v_{2}=\left(x_2,y_2,z_2 \right): x_2-3y_2+2z_2=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha_1v_1+ \alpha_2v_2 =\left(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2,\alpha_1z_1+\alpha_2z_2 \right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha_1x_1+\alpha_2x_2-3\left( \alpha_1y_1+\alpha_2y_2\right)+2\left( \alpha_1z_1+\alpha_2z_2\right) = \alpha_1\left( x_1-3y_1+2z_1\right) +\alpha_2\left( x_2-3y_2+2z_2\right) = \alpha_1 \cdot 0+\alpha \cdot 0=0}\)
I z tego powinno wynikać że podprzestrzeń jest wektorowa ale nie umiem tego dla siebie uzasadnić. Nalezałoby napisać komentarz typu "to oznacza że (?) i z tego wynika że (?)" potrzebowałabym komentarzy też do poszczególnych kroków rozwiazania. Zwykle komentuje rozwiazania ale w tym zadaniu po prostu nie wiem co i po co liczę. Mam również kłopot z wyznaczaniem bazy, nawet nie wiem jak sie do tego zabrać

Zbiór \(\displaystyle{ U \subset V}\)(w tym przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\)) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wiw, gdy dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ v_{1},v_{2} \in U}\)oraz dla dowolnych\(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}}\) wektor \(\displaystyle{ \alpha_1v_1+ \alpha_2v_2 \in U}\).

Poprzez wykonany przez Ciebie szereg przekształceń/obliczeń wykazałaś, że \(\displaystyle{ \alpha_1v_1+ \alpha_2v_2 \in U}\), a więc U jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\).

O, dokładnie to chciałam zrozumieć.
Bazę już nauczyłam się wyznaczać.
Dziękuję