Matematyka.pl

Mam pokazać, że szereg \(\displaystyle{ f_{n}=arctg nx}\) jest zbieżny jednostajnie na każdym zbiorze postaci \(\displaystyle{ (- \infty ,-a) \cup (a,+ \infty )}\), gdzie a>0.
Wyznaczyłam sobie obszar zbieżności A=R oraz funkcję graniczną. I funkcja graniczna jest równa trzem wartościom w zależności od x, przy czym dla x=0 wynosi ona 0.

I rozumiem, czemu dla a>0 wychodzi, że faktycznie jest jednostajnie zbieżna, ale nie rozumiem, czemu dla a=0 nie jest?

Przecież, jak obliczę sup[fn(x)-f(x)] dla x=0, to wyjdzie 0 (bo arctg n0=0 i f(0)=0).
Więc granica tego superemum też równa się 0.
Więc z definicji ciągu funkcji zbieżnej jednostajnie do f na zbiorze B (u mnie B to teraz właśnie to 0) wszystko się zgadza.

Gdzie robię błąd?

\(\displaystyle{ f_{n}(x) \rightarrow f(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, \quad x>0 \\ 0, \quad x=0 \\ -\frac{\pi}{2}, \quad x<0 \end{cases}}\)

Ponieważ wszystkie \(\displaystyle{ f_{n}}\) są ciągłe, a \(\displaystyle{ f}\) jest nieciągła w zerze, więc w otoczeniu zera nie ma mowy o zbieżności jednostajnej.

Błąd robisz w tym, że żeby była mowa o jednostajnej zbieżności potrzebujesz brać supremum po WSZYSTKICH \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\), a nie dla jednego ustalonego.

Dziękuję