Matematyka.pl

I zasada dynamiki Newtona
Jeśli siły działające na ciało równoważą się lub nie działaja żadne siły ,to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.(\(\displaystyle{ \vec{F_{w}}=0}\))

II zasada dynamiki Newtona
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się ruchem zmiennym z przyspieszeniem, którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości siły wypadkowej. Współczynnik proporcjonalności równy jest odwrotności masy ciała. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły wypadkowej.(\(\displaystyle{ \vec{F_{w}}\neq0;\\ \vec{a}=\frac{\vec{F_{w}}}{m}}\))

III zasada dynamiki Newtona
Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał maja takie same wartości, taki sam kierunek,przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia.
(\(\displaystyle{ \vec{F_{AB}}=-\vec{F_{BA}}}\))

Zasady dynamiki Newtona są spełnione w układach inercjalnych(np. związanych z Ziemią).Wszystkie układy inercjalne są względem siebie nieruchome, albo poruszają się względem siebie ruchem postępowym,prostoliniowym i jednostajnym.

To ja tutaj też dodam, że mając dane warunki początkowe i znamy siłę to o ruchu ciała możemy powiedzieć wszystko. W dlaszych rozważaniach proponuję przyjąc oznaczeniem które skróci pracę z LaTeX-em: \(\displaystyle{ F_{wyp.}\equiv F}\)
1) Ruch jednostajny prostoliniowy
Załóżmy, że znamy \(\displaystyle{ \vec{v}(0)=\vec{v}_o,\ \vec{r}(0)=\vec{r}_o,\ \vec{F}=\vec{0}}\)
Korzystamy z tego, że przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości po czasie, a prędkość pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie.
Rozważmy II ZD dla naszego przypadku:
\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt}=\frac{F}{m}}\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ dv==\frac{F}{m}dt \\ v=\frac{F}{m}\int dt \\ v=\frac{F}{m}t+C_1}\)
Można liczyć v(0), ale i tak wyjdzie, że prędkość jest stała bo F=0
zatem \(\displaystyle{ \underline{v(t)=v_o}}\)

Rozważmy teraz przemieszczenie
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{dr(t)}{dt}}\)
Wiadomo, rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ dr=v_odt \\ r=v_o\int dt \\ r=v_ot+C_2}\)
Z warunków początkowych wiemy, że C2=ro
Zatem \(\displaystyle{ \underline{r(t)=r_o+v_ot}}\)
.................................................................................................................................................................
2) Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy
Załóżmy, że znamy \(\displaystyle{ \vec{v}(0)=\vec{v}_o,\ \vec{r}(0)=\vec{r}_o,\ \vec{F}\ \vec{0}}\)
Korzystamy z tego, że przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości po czasie, a prędkość pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie. Potem skorzystamy z tego, że a=F/m
Znów zapisujemy II ZD dla naszego przypadku
\(\displaystyle{ dv=\frac{F}{m}dt \\ v=\frac{F}{m}\int dt \\ v=\frac{F}{m}t+C_1}\)
Nasza stała to oczywiście \(\displaystyle{ C_1=v_o}\) a \(\displaystyle{ \frac{F}{m}=a}\)
więc
\(\displaystyle{ \underline{v(t)=v_o+at}}\)

I ponownie zapisujemy prędkość jako pierwszą pochodną przemieszczenia po czasie.
\(\displaystyle{ dr(t)=v(t)dt \\ r=\int(v_o+at)dt \\ r=v_ot+\frac{at^2}{2}+C_2}\)
I znów z warunków początkowych widzimy, że \(\displaystyle{ C_2=r_o}\)
Czyli \(\displaystyle{ \underline{r(t)=r_o+v_0t+\frac{at^2}{2}}}\)

Widać zatem, że zasady dynamiki Newtona są przydatne nie tylko w dynamice, ale i w kinematyce. Więcej cała fizyka klasyczna opiera się na na zaledwie trzech zasadach i kilku zasadach zachowania.

W sposób podany powyżej znaleźć można wyrażenie na ruch ciała pod działaniem dowolnej siły.