Matematyka.pl

Należy wykazać że każda przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n-1}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) ma bazę postaci: \(\displaystyle{ {(1,0,...,a_1),(0,1,...,a_2),...,(0,...,1,a_{n-1})}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a_1,...,a_{n-1} \in \RR}\), z dokładnością do kolejności współrzędnych.

Weź sobie bazę tej podprzestrzeni: \(\displaystyle{ v_1,...,v_n}\).
\(\displaystyle{ v_i = (a_{i,1},...,a_{i,n})}\).
Skoro wymiar tej przestrzeni, to \(\displaystyle{ n-1}\), to wektory te są liniowo niezależne.
Wrzucając współrzędne wektorów do macierzy (wiersze będą zapisane w wierszach, wymiary macierzy to \(\displaystyle{ (n-1) x n}\) )

Dalej macierz schodkujemy, redukujemy i otrzymujemy tezę (niezależność wektorów nam to zapewnia).