Matematyka.pl

Witam, szukam pomocy jak w temacie. Dokładniej ujmując chodzi mi o to jak liczyć logarytmy z pierwiastków np \(\displaystyle{ log _{3} \frac{1}{81} =- 4}\) ale jak to policzyć? Znam podstawowy wzór ale on nic mi nie mówi w tym przypadku (proste logarytmy owszem) Proszę o pomoc.

Sposób jest taki: liczbę logarytmowaną staramy się przedstawić w postaci potęgi liczby, która jest w podstawie logarytmu.

W tym przypadku:
\(\displaystyle{ \frac{1}{81}=81^{-1}=\left( 3^4\right) ^{-1}=3 ^{-4}}\)
Stąd mamy:
\(\displaystyle{ \log _3 \frac{1}{81} =\log_3 3^{-4}=-4 \log_3 3=-4 \cdot 1=-4}\)

Wszystko jasne?

Chyba ułamków
przedstawiamy logarytm jako \(\displaystyle{ log _3{ (\frac 1{3}{})^{4} }}\) a przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{3} =3 ^{-1}}\)

Radzik tak, ułamków

mmoonniiaa nie do końca wszystko, skąd się wzięło -4 razy 1 (na końcu) -4 przypuszczam że chodzi o potęgę ale 1?

Najpierw wzór: \(\displaystyle{ \log_ a b ^m=m \log _a b}\)
następnie: \(\displaystyle{ \log_3 3=1}\)

ok rozumiem napiszę potem gdybym miał jeszcze jakieś pytania -- 6 lis 2012, o 14:57 --Ok rozwiązałem kilkanaście przykładów i wnioskuję z tego że nastąpił progres Teraz mam jednak problem z nieco innymi (zapewne jest w tym analogia co do poprzednich przykładów ale nie chcę sobie namieszać w głowie własnymi pomysłami bo zauważyłem że nie wychodzi mi tak jak powinno). Proszę dlatego o podobne wytłumaczenie takiego przykładu:

\(\displaystyle{ log \frac{1}{8} 16}\)

Oraz od razu druga część żeby nie pisać kolejnych postów (tym razem nie logarytm a "zwykłe" potęgowanie), dokładniej rzecz biorąc jak spotęgować \(\displaystyle{ 9^{ \frac{1}{2} }}\) oraz \(\displaystyle{ 8^{- \frac{1}{3} }}\)

Ten logarytm ma tak wyglądać?
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{8} }16}\)

Co do przykładów z potęgowaniem. Jeśli w wykładniku mamy ułamek to chodzi o pierwiastek odpowiedniego stopnia, tzn.:
\(\displaystyle{ 9^ { \frac{1}{2}} = \sqrt{9}=...}\)

\(\displaystyle{ 8^{- \frac{1}{3} }=\left( \frac{1}{8} \right)^{ \frac{1}{3} } = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}=...}\)

tak, właśnie tak miał wyglądać ale coś się nie udało wizualnie
Z tym potęgowaniem to faktycznie proste zapomniałem że tak się przecież to liczy

Jeśli chodzi o ten logarytm, to zauważ, że liczby \(\displaystyle{ 16}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) da się zapisać w postaci potęg dwójki. Dlatego należy zastosować wzór na zmianę podstawy logarytmu - gdzie właśnie tą nową podstawą będzie liczba \(\displaystyle{ 2}\) - spróbuj.

Kurcze, nie ma jakiegoś prostszego sposobu, nie przypominam sobie żebyśmy na zajęciach coś takiego robili (z tym wzorem na zmianę postawy logarytmu)

Inny sposób:
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{8} }16= \frac{\log 16}{\log \frac{1}{8} }= \frac{\log 2^4}{\log 2^{-3}}=\frac{4\log 2}{-3\log 2}}=- \frac{4}{3}}\)

ok teraz już prędzej coś mogę z tego wywnioskować, powiedz mi jeszcze jak policzyc mianownik po pierwszym "=" \(\displaystyle{ log \frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ \log \frac{1}{8}=\log {\left( \frac{1}{2} \right) }^3=\log 2^{-3}}\)

Ale ja tam właśnie korzystałam z zamiany podstaw logarytmu

obliczyłem to jakimś cudem przed przeczytaniem ostatniego postu więc chyba jednak znam ten wzór choć tak na prawdę nie wiem że go używam.. ale cóż, najważniejsze że wiem jak policzyć

-- 7 lis 2012, o 17:12 --

a jednak nie, cuda się nie zdarzają obliczyłem do tego momentu \(\displaystyle{ \frac{4\log 2}{-3\log 2}}=}\) i nie wiem teraz jak przekształcić to do ostatecznej formy -4/3

Możesz skrócić przez \(\displaystyle{ \log 2}\), przecież tam jest mnożenie.
\(\displaystyle{ \frac{4 \cdot \log 2}{-3 \cdot \log 2}}=}\)