Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
GRUPA ROBOCZA 1: Nieprzemienne przestrzenie \(\displaystyle{ L_p}\)
Celem tej grupy roboczej będzie studiowanie klasycznych nierówności probabilistycznych w ujęciu nieprzemiennym. Zachęcamy wszystkich do dyskusji.
Uczestnicy: Spektralny, Wasilewski, Tubascos.
Opieramy się na notatkach Xu .
Zanim zaczniemy musimy przebrnąć przez dość elementarną i znaną konstrukcję nieprzemiennych przestrzeni \(\displaystyle{ L_p}\).
Żeby nie wdawać się w szczegóły zakładamy, że uczestnicy mają minimalną wiedzę na temat - jeżeli nie, to niech mają w głowie następujące C*-algebry:
- algebra macierzy \(\displaystyle{ M_n}\) (stopnia \(\displaystyle{ n}\)) z normą operatorową pochodzącą od normy euklidesowej, tj. normy \(\displaystyle{ \ell^n_2}\),
- \(\displaystyle{ L_\infty(\mu)}\) dla pewnej miary \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończonej,
- \(\displaystyle{ \mathcal{B}(\mathfrak{H})}\) algebrę operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ \mathfrak{H}}\)
- \(\displaystyle{ M_2 \bar{\otimes} M_2 \bar{\otimes} M_2 \bar{\otimes} \ldots}\).
Będziemy często używać następującego faktu:
Rozkład biegunowy: Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest elementem algebry von Neumanna \(\displaystyle{ \mathsf M}\), to istnieje taka częściowa izometria \(\displaystyle{ u}\), że \(\displaystyle{ x = u|x|}\). Ponadto, rozkład ten jest jednoznaczny i \(\displaystyle{ u\in \mathsf M}\).
Symbole: \(\displaystyle{ \mathsf M,\mathsf N}\) - tymi symbolami będziemy zwykle oznaczać algebry von Neumanna \(\displaystyle{ \mathsf A^+}\) - zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ \tau}\) - ślad; funkcja \(\displaystyle{ \tau \colon \mathsf M \to [0,\infty]}\) spełniająca warunki \(\displaystyle{ \tau(\lambda x+y) = \tau(\lambda x) + \tau(y),\, \tau(x^*x)=\tau(xx^*)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb R^+, x,y\in \mathsf M^+}\).
Ślad \(\displaystyle{ \tau}\) jest
- wierny, gdy \(\displaystyle{ \tau(x)=0}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x=0}\)
- normalny, gdy \(\displaystyle{ \sup \tau(x_i) = \tau (\sup x_i)}\) dla dowolnej ograniczonej i rosnącej sieci \(\displaystyle{ (x_i)_{i\in I}\subset \mathsf M^+}\);
- skończony, gdy \(\displaystyle{ \tau(1)<\infty}\)
- \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończony, gdy dla każdego niezerowego \(\displaystyle{ x\in \mathsf M^+}\) istnieje takie niezerowe \(\displaystyle{ y\in \mathsf M^+}\), że \(\displaystyle{ y\leqslant x}\) oraz \(\displaystyle{ \tau(y)<\infty}\).
- niemalejący, gdy dla \(\displaystyle{ 0\leqslant x \leqslant y}\) mamy \(\displaystyle{ \tau(x)\leqslant \tau(y)}\).
Każdy ślad ma następującą własność: \(\displaystyle{ \tau(xy)=\tau(yx)}\). W szczególności, każdy charakter (funkcjonał liniowo-multyplikatywny) na \(\displaystyle{ L_\infty(\mu)}\) jest śladem. Klasycznym przykładem śladu wiernego jest całka:
W dalszych rozważaniach to będzie naszym punktem wyjścia. Parę \(\displaystyle{ (\mathsf M, \tau)}\) będziemy nazywać nieprzemienną przestrzenią probabilistyczną (\(\displaystyle{ \tau}\) jest ustalony, algebra von Neumanna może mieć więcej niż jeden ślad). W szczególności, każda klasyczna przestrzeń probabilistyczna może być utożsamiona z nieprzemienną.
GR1 Nieprzemienne przestrzenie Lp
: 8 lis 2012, o 17:21
autor: Wasilewski
Od teraz będziemy zakładać, że nasz ślad \(\displaystyle{ \tau}\) jest skończony, normalny i wierny, a ponadto \(\displaystyle{ \tau(1)=1}\); wtedy przedłuża się on do funkcjonału liniowego na całej algebrze \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\). Skoro wiemy, że jest to nieprzemienny analogon całkowania względem miary probabilistycznej, to mamy naturalnego kandydata na normę w nieprzemiennej przestrzeni \(\displaystyle{ L_{p}(\mathsf{M}, \tau)}\), którą chcemy skonstruować.
Definicja Liczbę \(\displaystyle{ \| x\|_{p} := \left(\tau(|x|^{p})\right)^{\frac{1}{p}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1\leqslant p < \infty}\) (choć wyrażenie ma sens również dla \(\displaystyle{ 0<p<1}\), to nie będziemy się tym zajmować) nazwiemy \(\displaystyle{ p}\)-tą normą elementu \(\displaystyle{ x \in \mathsf{M}}\). Przyjmujemy, że dla \(\displaystyle{ p=\infty}\) jest to norma operatorowa.
Będziemy chcieli uzasadnić, że nadana nazwa jest stosowna, czyli odwzorowanie \(\displaystyle{ x \mapsto \|x\|_{p}}\) w istocie jest normą. Dowód będzie podobny do przypadku klasycznego, będzie zatem wykorzystywał nierówność Höldera (nieprzemienną).
Nierówność Höldera. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x,y \in (\mathsf{M},\tau)}\) oraz \(\displaystyle{ p,q \in[1,\infty]}\) są takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1}\). Wówczas \(\displaystyle{ |\tau(xy)| \leqslant \|x\|_{p} \|y\|_{q}.}\) Dowód. Najpierw rozważymy przypadek \(\displaystyle{ x,y \in \mathsf{M}_{+}}\), a przypadek ogólny wywnioskujemy za pomocą rozkładu biegunowego. Korzystając z twierdzenia spektralnego, jesteśmy w stanie wyprodukować rosnący ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\) elementów \(\displaystyle{ \mathsf{M}_{+}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_{n} \leqslant x}\), \(\displaystyle{ \|x-x_{n}\| \to 0}\) oraz wyrazy tego ciągu są kombinacjami liniowymi parami ortogonalnych rzutów; analogicznie dla \(\displaystyle{ y}\). Żeby to osiągnąć, musimy spojrzeć na rozkłady spektralne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) i przybliżać funkcję identycznościową od dołu funkcjami prostymi. Uzasadnimy, że wystarczy dowodzić nierówności Höldera dla elementów tych ciągów: \(\displaystyle{ |\tau(xy) - \tau(x_{n}y_{n})| \leqslant |\tau((x-x_{n})y)| + |\tau(x_{n}(y-y_{n}))| \\
\phantom{|\tau(xy) - \tau(x_{n}y_{n})|} = |\tau(y^{\frac{1}{2}} (x-x_{n}) y^{\frac{1}{2}})| +
|\tau(x_{n}^{\frac{1}{2}} (y-y_{n}) x_{n}^{\frac{1}{2}})| \\
\phantom{|\tau(xy) - \tau(x_{n}y_{n})|} \leqslant \|x-x_{n}\| \tau(y) + \|y-y_{n}\| \tau(x_{n}),}\)
gdzie drugie przejście wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \tau(xy) = \tau(yx)}\), a ostatnia nierówność z tego, że \(\displaystyle{ x-x_{n} \leqslant \|x-x_{n}\|}\) oraz \(\displaystyle{ \tau(uv) \leqslant \tau(uw)}\), gdy \(\displaystyle{ u \geqslant 0}\) oraz \(\displaystyle{ v \leqslant w}\).
Możemy zatem założyć, że \(\displaystyle{ x = \sum_{k=1}^{n} a_{k}' e_{k}'}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{k}' \in \mathbb{R}_{+}}\), natomiast \(\displaystyle{ e_{k}'}\) są parami ortogonalnymi rzutami; można tu założyć, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{k}')}\) jest malejący. Wykonując sumowanie przez części, możemy napisać \(\displaystyle{ x = \sum_{k=1}^{n} a_{k} e_{k},}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{k} = a_{k}' -a_{k+1}'}\), \(\displaystyle{ e_{k} = e_{1}'+\dots e_{k}'}\), przy czym \(\displaystyle{ a_{n+1} = 0}\). Podobnie \(\displaystyle{ y = \sum_{k=1}^{n} b_{k} f_{k}}\). Zauważmy teraz, że gdy \(\displaystyle{ e,f}\) są rzutami, to \(\displaystyle{ \tau(ef) = \tau(e^2f) = \tau(efe) \leqslant \tau(e)}\) oraz \(\displaystyle{ \tau(ef) = \tau(fef) \leqslant \tau(f)}\), czyli \(\displaystyle{ \tau(ef) \leqslant \min(\tau(e), \tau(f))}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \tau(xy) = \sum_{j,k=1}^{n} a_{j}b_{k} \tau(e_{j}f_{k}) \leqslant \sum_{j,k=1}^{n}a_{j}b_{k} \min(\tau(e_{j}), \tau(f_{k}))}\).
Jeśli zdefiniujemy funkcje \(\displaystyle{ \hat{x} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbbm{1}_{[0,\tau(e_{k}]}, \\
\hat{y} = \sum_{k=1}^{n} b_{k} \mathbbm{1}_{[0, \tau(f_{k})]},}\)
to \(\displaystyle{ \|x\|_{p} = \|\hat{x}\|_{p}}\), \(\displaystyle{ \|y\|_{p} = \|\hat{y}\|_{p}}\). Co więcej, \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \hat{x}(t) \hat{y}(t) dt = \sum_{j,k=1}^{n} a_{j}b_{k} \min(\tau(e_{j}), \tau(f_{k})),}\)
zatem klasyczna nierówność Höldera kończy dowód.
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ x,y \in \mathsf{M}}\) są dowolne. Dokonajmy rozkładu biegunowego \(\displaystyle{ x=u|x|}\), \(\displaystyle{ y=v|y|}\) i zauważmy, że odwzorowanie \(\displaystyle{ (x,y) \mapsto \tau(x^{\ast}y)}\) dodatnio określoną formą półtoraliniową na \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\); wystarczy tu nieujemna określoność, ale warto pamiętać, że ślad \(\displaystyle{ \tau}\) jest wierny. Prawdziwa jest zatem nierówność Schwarza \(\displaystyle{ |\tau(x^{\ast}y)|^{2} \leqslant \tau(x^{\ast}x) \tau(y^{\ast}y)}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \tau(xy) = \tau(u|x|v|y|) = \tau((|y|^{\frac{1}{2}}u|x|^{\frac{1}{2}})(|x|^{\frac{1}{2}} v |y|^{\frac{1}{2}}))}\), zatem nierówność Schwarza daje \(\displaystyle{ |\tau(xy)|^{2} \leqslant \tau(|y|^{\frac{1}{2}} u|x|u^{\ast} |y|^{\frac{1}{2}}) \tau(|y|^{\frac{1}{2}} v^{\ast}|x|v |y|^{\frac{1}{2}})=\tau(|y| u|x|u^{\ast})\tau(v|y|v^{\ast}|x|) = \tau(|y||x^{\ast}|) \tau(|y^{\ast}||x|),}\)
ponieważ \(\displaystyle{ u|x|u^{\ast} = |x^{\ast}|}\), \(\displaystyle{ v|y|v^{\ast} = |v^{\ast}|}\), a to już kończy dowód przypadku ogólnego, gdyż \(\displaystyle{ \|x\|_{p} = \||x|\|_{p} = \|x^{\ast}\|_{p}}\).
Warto tu wspomnieć, że prawdziwa jest ogólniejsza nierówność:
Jeśli \(\displaystyle{ \frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,q,r \in [1,\infty]}\), to \(\displaystyle{ \|xy\|_{r} \leqslant \|x\|_{p} \|y\|_{q}}\), przy czym dowód jest bardzo podobny.
Podobnie, jak w przypadku przemiennym, nierówność Höldera implikuje, iż \(\displaystyle{ \|x\|_{p} = \sup\{|\tau(xy)|: \|y\|_{\frac{p}{p-1}} \leqslant 1\}}\), co pokazuje też, że spełniona jest nierówność trójkąta (pod supremum mamy już coś liniowego i nie napotkamy żadnych trudności). Skoro ślad \(\displaystyle{ \tau}\) jest wierny to \(\displaystyle{ \|x\|_{p}=0}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=0}\), zatem \(\displaystyle{ \|\cdot\|_{p}}\) rzeczywiście jest normą. Nadchodzi więc fundamentalna Definicja. Załóżmy, że \(\displaystyle{ (\mathsf{M}, \tau)}\) jest nieprzemienną przestrzenią probabilistyczną. Definiujemy wówczas przestrzeń \(\displaystyle{ L_{p}(\mathsf{M}, \tau)}\) jako uzupełnienie \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\) w normie \(\displaystyle{ \|\cdot \|_{p}}\).
Przypomnijmy następujący znany fakt:
Jeśli \(\displaystyle{ 0<\theta\leqslant 1}\), to funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+}\ni t \mapsto t^{\theta}}\) zachowuje porządek na elementach dodatnich. Dowód. Przypadek \(\displaystyle{ \theta=1}\) jest oczywiście trywialny, więc nie będziemy się nim zajmować. Sprawdzimy najpierw, że \(\displaystyle{ x \mapsto x^{-1}}\) odwraca porządek. Załóżmy zatem, że mamy \(\displaystyle{ 0 < x \leqslant y}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ y^{-\frac{1}{2}} x y^{-\frac{1}{2}} \leqslant 1}\), zatem \(\displaystyle{ \|x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}\| \leqslant 1}\). Z tożsamości \(\displaystyle{ \|a a^{\ast}\| = \|a\|^{2}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \|x^{\frac{1}{2}} y x^{\frac{1}{2}}\| \leqslant 1}\), ale tu już mamy do czynienia z dodatnim elementem, zatem możemy wnioskować, iż \(\displaystyle{ x^{\frac{1}{2}} y^{-1} x^{\frac{1}{2}} \leqslant 1}\), co prowadzi do \(\displaystyle{ y^{-1} \leqslant x^{-1}}\). Jeśli zatem określimy funkcję \(\displaystyle{ f_{a}(t) = (1- (1+at)^{-1}) \frac{1}{a}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (-\frac{1}{a}, \infty)}\), to ona zachowuje porządek, zatem jeśli \(\displaystyle{ x \leqslant y}\), to \(\displaystyle{ f_{a}(x) a^{-\theta} \leqslant f_{a}(y) a^{-\theta}}\), więc również \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} f_{a}(x) a^{-\theta} da \leqslant \int_{0}^{\infty}f_{a}(y) a^{-\theta} da}\), ale można sprawdzić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} f_{a}(x) a^{-\theta} = Cx^{\theta}}\) dla pewnej dodatniej stałej, a więc uzyskujemy to, o co nam chodziło. Korzystamy tu z założenia, że \(\displaystyle{ \theta <1}\), bo inaczej funkcja podcałkowa nie byłaby całkowalna wokół zera. Okazuje się, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ t \mapsto t^{\beta}}\) zachowuje porządek dla pewnego \(\displaystyle{ \beta>1}\), to algebra \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\), w której rzecz się dzieje, musi być przemienna.
Udowodnimy teraz następującą nierówność:
Gdy \(\displaystyle{ x,a,b \in \mathsf{M}}\), to \(\displaystyle{ \|axb\|_{p} \leqslant \|a\| \|x\|_{p} \|b\|}\). W szczególności, \(\displaystyle{ \|\cdot \|_{p}}\) jest unitarnie niezmiennicza. Ponadto wynika z tego, że \(\displaystyle{ L_{p}(\mathsf{M},\tau)}\) jest (bi)modułem nad \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\). Dowód. Wystarczy uzasadnić, że \(\displaystyle{ \|ax\|_{p} \leqslant \|a\| \|x\|_{p}}\), gdyż nierówność z drugiej strony wyniknie z przyłożenia sprzężeń. Przyjmijmy najpierw \(\displaystyle{ 1\leqslant p \leqslant 2}\). Z definicji wynika, że \(\displaystyle{ \|ax\|_{p}^{p} = \tau( (x^{\ast}a^{\ast}ax)^{\frac{p}{2}}) \leqslant \|a^{\ast}a\|^{\frac{p}{2}} \tau (x^{\ast}x)^{\frac{p}{2}} = \|a\|^{p} \|x\|_{p}^{p},}\)
gdyż \(\displaystyle{ \frac{p}{2}\leqslant 1}\), zatem mamy zachowywanie porządku. Gdy \(\displaystyle{ p>2}\), to \(\displaystyle{ \frac{p}{p-1} \in [1,2]}\), a wiemy, że \(\displaystyle{ \|ax\|_{p} = \sup\{|\tau(axy)|: \|y\|_{\frac{p}{p-1}}\leqslant 1\}}\), zatem szacowanie \(\displaystyle{ |\tau(axy)| = |\tau(xya)| \leqslant \|x\|_{p} \|ya\|_{\frac{p}{p-1}} \leqslant \|x\|_{p} \|a\|}\)
kończy dowód.
GR1 Nieprzemienne przestrzenie Lp
: 10 lis 2012, o 22:48
autor: Spektralny
Warto nadmienić, że to abstrakcyjne uzupełnienie normy śladowej można zrealizować w sposób konkretny poprzez pewne operatory nieograniczone stowarzyszone z daną algebrą von Neumanna dla których ślad nadal ma sens. To jednak trochę inna para kaloszy. Idziemy teraz w kierunku wykazania relacji dualności jakie znamy dla klasycznych przestrzeni \(\displaystyle{ L_p}\).
Komentarz. \(\displaystyle{ M}\) jako algebra von Neumanna ma naturalny (i jedyny z dokładnością do izometrii) predual. Moim ulubionym opisem tego predualu jest zbiór tych funkcjonałów \(\displaystyle{ f\in \mathsf M^*}\), które są ciągłe względem \(\displaystyle{ \sigma}\)-słabej topologii. Tutaj dostajemy więc jeszcze jeden kapitalny opis tego predualu. Przypomnijmy, że klasycznie predual \(\displaystyle{ \mathsf M_*}\) algebry \(\displaystyle{ \mathsf M}\) identyfikujemy ze zbiorem funkcjonałów normalnych (definicja normalności taka jak podana wyżej dla śladów).
Dowód. Dla każdego elementu \(\displaystyle{ x\in L_1(\mathsf M)}\) wzór \(\displaystyle{ \varphi_x = \tau(xy),\;(y\in \mathsf M)}\) definiuje ciągły funkcjonał liniowy na \(\displaystyle{ \mathsf M}\). Mamy również \(\displaystyle{ \|\varphi_x\| = \|x\|_1}\). Określiliśmy więc izometryczne włożenie \(\displaystyle{ \iota\colon L_1(\mathsf M)\to M^*}\), \(\displaystyle{ \iota(x) = \varphi_x}\).
No dobrze, ustalmy więc element \(\displaystyle{ x\in L_1(\mathsf)}\) oraz rosnącą i ograniczoną sieć \(\displaystyle{ (y_i)_{i\in I}}\), zbieżną w sensie mocnej topologii operatorowej (SOT) do pewnego \(\displaystyle{ y}\).
Z dodatniości \(\displaystyle{ x}\) (oraz ciągłości mnożenia względem SOT na zbiorach ograniczonych) wnioskujemy, iż
\(\displaystyle{ x^{\tfrac{1}{2}} y_i x^{\tfrac{1}{2}} \longrightarrow x^{\tfrac{1}{2}} y x^{\tfrac{1}{2}}}\)
Udało nam się więc pokazać, że każdy funkcjonał \(\displaystyle{ \varphi_x}\) jest normalny, czyli należy do \(\displaystyle{ \mathsf M_*}\). Trzeba pokazać, że każdy funkcjonał normalny jest tej postaci. Oczywiście, \(\displaystyle{ \iota}\) ma domknięty obraz, bo jest izometrią. Możemy więc użyć wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha mówiącego, że jeżeli tylko zero anihiluje wszystkie elementy danej domkniętej podprzestrzeni, to ta podprzestrzeń jest całą przestrzenią. Ustalmy więc takie \(\displaystyle{ y\in (\mathsf M_*)^*=\mathsf M}\), że \(\displaystyle{ \langle y, \varphi_x\rangle = \varphi_x(y)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in L_1(\mathsf M)}\). W szczególności \(\displaystyle{ \varphi_{y^*}(y)=\tau(y^* y)=0}\), ale ślad jest wierny, więc \(\displaystyle{ y^*y=0=y}\), co kończy dowód. \(\displaystyle{ \square}\)
Komentarz: Napisałem wyżej o ciągłości mnożenia SOT na zbiorach ograniczonych. To jednak przesada, bo nie rozważamy granicy typu \(\displaystyle{ x_i y_i}\). Mnożenie jest SOT jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych zawsze.
GR1 Nieprzemienne przestrzenie Lp
: 22 cze 2013, o 15:11
autor: Tubascos
Kolejnym faktem, który przenosi się z przemiennego przypadku jest refleksywność przestrzeni \(\displaystyle{ L_p(\mathsf{M})}\), gdy \(\displaystyle{ p \in (1, \infty)}\).
Jednak, przed dowodem powyższego faktu będziemy potrzebowali kilku dodatkowych narzędzi. Są to:
nieprzemienna nierówność Clarksona,
nieprzemienne twierdzenie interpolacyjne Riesza-Thorina, z którego skorzystamy, aby udowodnić nierówność Clarksona.
Nieprzemienne Twierdzenie Riesza-Thorina. pisze:
Niech \(\displaystyle{ 1 \leq p_0 < p_1 \leq \infty}\) oraz niech \(\displaystyle{ T \colon \mathsf{M} \rightarrow L_1(\mathrm{M})}\) będzie operatorem liniowym takim, że
Wtedy, \(\displaystyle{ T}\) przedłuża się do operatora ograniczonego w \(\displaystyle{ L_p(\mathsf{M})}\) dla każdego \(\displaystyle{ p \in (p_0, p_1)}\).
Ponadto norma operatora \(\displaystyle{ T}\) w \(\displaystyle{ L_p(\mathsf{M})}\) , zależy od stałej \(\displaystyle{ C_0^{1 - \theta}C_1^{\theta}}\), gdzie \(\displaystyle{ \theta}\) spełnia
Podobnie jak w przypadku przemiennym, dowód wykorzystuję zasadę maksumum.
Niech \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y \in \mathsf{M}}\) oraz niech \(\displaystyle{ x=u|x|}\) i \(\displaystyle{ y=v|y|}\) będzie ich rozkładem biegunowym. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \|x\|_p \leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ \|y\|_{p^{\prime}} \leq 1}\) (gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p^{\prime}}\) są holderowsko sprzężone tzn. \(\displaystyle{ \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = 1)}\).
Dla \(\displaystyle{ c \in \mathbb{C}}\) zdefiniujmy
\(\displaystyle{ f(z)=u|x|^{\frac{p(1-z)}{p_0}+ \frac{pz}{p_1}}}\)
i \(\displaystyle{ g(z)= v|y|^{\frac{p^{\prime}(1-z)}{p_0^{\prime}}+ \frac{p^{\prime}z}{p_1^{\prime}}}.}\)
Do zdefiniowania zespolonych potęg operatorów dodatnich użyjemy, oczywiście, ciągłego rachunku funkcyjnego. Aby, uniknąć trudności dotyczących ciągłości i analityczności funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ g}\), możemy założyć , poprzez aproksymację, że \(\displaystyle{ |x|}\) oraz \(\displaystyle{ |y|}\) są kombinacjami liniowymi rzutów wzajemnie ortogonalnych (przypominamy, że każda algebra von Neumanna jest generowana przez swoje rzuty).
Na przykład, jeśli
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_j > 0}\) oraz \(\displaystyle{ e_j \in \mathsf{M}}\) są wzajemnie ortogonalne dla każdego \(\displaystyle{ j=1, 2 \ldots, n}\), wtedy
Zatem, funkcja \(\displaystyle{ z \mapsto f(z)}\) jest analityczna w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) oraz przyjmuje wartości w \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\). Analogicznie postępujemy w przypadku \(\displaystyle{ |y|}\) i funkcji \(\displaystyle{ g}\).
W tym prostym przypadku wszystkie poniższe nierówności są uzasadnione.
Zdefiniujmy teraz kolejną funkcję
Tak zdefiniowana \(\displaystyle{ h}\) jest analityczna w całym \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).
Dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\), oszacujemy \(\displaystyle{ |h(it)|}\). W tym celu zacznijmy od \(\displaystyle{ \|f(it)\|_{p_0}}\). Otrzymujemy,
Zatem \(\displaystyle{ |h(it)| \leq 1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\). Analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ |h(1+it)| \leq 1}\).
Na mocy zasady maksimum, otrzymujemy iż \(\displaystyle{ |h(\theta)| \leq 1}\). Zauważmy, jednak, aby uzasadnić użycie zasady maksimum dla \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ \left\{z \in \mathbb{C} \colon 0 \leq \mathfrak{Re}z \leq 1 \right\}}\), musimy zmodyfikować odrobinę naszą funkcję \(\displaystyle{ h}\) mnożąć ją poprzez funkcję, która jest wystarczająco mała w nieskończoności, np. \(\displaystyle{ e^{\delta(z^2 - \theta^2)}}\), gdzie \(\displaystyle{ \delta >0}\).
Wtedy, bez żadnych problemów możemy zastosować zasadę maksimum do \(\displaystyle{ e^{\delta(z^2 - \theta^2)}h}\) i otrzymać
Niech \(\displaystyle{ \mathsf{N} = \mathsf{M} \oplus \mathsf{M}}\) będzie sumą prostą algebr von Neumanna, tj. \(\displaystyle{ \mathsf{M}}\) z sobą samą. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathsf{N} \subset \mathbf{B}(\mathrm{H} \oplus \mathrm{H})}\), zatem \(\displaystyle{ \mathsf{N}}\) działa na \(\displaystyle{ \mathrm{H} \oplus \mathrm{H}}\) w następujący sposób
\(\displaystyle{ (x, y)(h,k)= (xh, yk)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y \in \mathsf{M}}\) i \(\displaystyle{ h}\), \(\displaystyle{ k \in \mathrm{H}}\).
Mamy również iż, \(\displaystyle{ \mathsf{N}_+ = \mathsf{M}_+ \oplus \mathsf{M}_+}\).
Zdefiniujmy teraz \(\displaystyle{ \nu \colon \mathsf{N}_+ \rightarrow \mathbb{C}}\) przez \(\displaystyle{ \nu(x, y) = \tau(x) + \tau(y)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \nu}\) jest normalnym, wiernym i znormalizowanym (tj. \(\displaystyle{ \nu(1)=1}\)) śladem w \(\displaystyle{ \mathsf{N}}\). Dla każdego \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathsf{N}}\), \(\displaystyle{ |(x,y)|^p = (|x|^p, |y|^p)}\) zatem
gdzie \(\displaystyle{ \oplus_{p}}\) oznacza \(\displaystyle{ \ell_p}\)-sumę prostą.
Zdefiniujmy teraz operator liniowy \(\displaystyle{ T}\) w \(\displaystyle{ L_p (\mathsf{N})}\) dany wzorem
\(\displaystyle{ \| T \colon L_{\infty}(\mathsf{N}) \rightarrow L_{\infty}(\mathsf{N}) \| \leq 1.}\)
Z drugiej strony, tożsamość równoległoboku implikuje
\(\displaystyle{ \| T \colon L_{2}(\mathsf{N}) \rightarrow L_{2}(\mathsf{N}) \| \leq \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}.}\)
Zatem korzystając z powyższego Twierdzenia Riesza-Thorina dla \(\displaystyle{ T}\) z \(\displaystyle{ p_0 = 2}\) i \(\displaystyle{ p_1 = \infty}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \| T \colon L_{p}(\mathsf{N}) \rightarrow L_{p}(\mathsf{N}) \| \leq \frac{1}{2^{\frac{1}{p}}},}\)
dla każdego \(\displaystyle{ p \in (2, \infty)}\). Co jest równoznaczne z
Użyjemy udowodnionej wyżej nierówności Clarksona, by pokazać
Dla każdego \(\displaystyle{ p\in [2,\infty)}\) przestrzeń \(\displaystyle{ L_p(\mathsf M)}\) jest .
Dowód: Utożsamiamy \(\displaystyle{ L_p(\mathsf M)}\) ze swoją kanoniczną kopią w \(\displaystyle{ (L_p(\mathsf M))^{**}}\) oraz ustalmy element \(\displaystyle{ \hat{x}\in (L_p(\mathsf M))^{**}}\) o normie 1. Z wynika, że istnieje taka (ograniczona) sieć \(\displaystyle{ (x_i)_{i\in I}\subset L_p(\mathsf M)}\), która zbiega do \(\displaystyle{ \hat{x}}\) w *-słabej topologii. Oczywiście,
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ (x_i)_{i\in I}}\) zbiega do \(\displaystyle{ \hat{x}}\) w normie, gdyż wówczas \(\displaystyle{ (L_p(\mathsf M))^{**} = L_p(\mathsf M)}\).
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ (x_i)_{i\in I}}\) nie zbiega do \(\displaystyle{ \hat{x}}\) w normie. Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), że
która jest oczywistą sprzecznością. \(\displaystyle{ \square}\)
Uwaga. Z nierówności Clarksona wynika, że \(\displaystyle{ L_p(\mathsf{M})}\) jest [url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_jednostajnie_wypuk%C5%82a]przestrzenią jednostajnie wypukłą[/url] (a więc superrefleksywną), co z twierdzenia Clarksona-Milmana pociąga refleksywność. Powyższy dowód jest rozumowaniem, które obchodzi się bez tego twierdzenia.
Niech \(\displaystyle{ p\in (1,\infty)}\) oraz \(\displaystyle{ q}\) będzie wykładnikiem sprzężonym Holderowsko do \(\displaystyle{ p}\). Wówczas istnieje izometryczny izomorfizm \(\displaystyle{ (L_p(\mathsf M))^* = L_q(\mathsf M)}\) wyznaczony przez dualizm
\(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \tau(xy)\;\;\; \big(x\in L_q(\mathsf M), y \in L_p(\mathsf M)\big).}\)
W szczególności, dla każdego \(\displaystyle{ p\in (1,\infty)}\) przestrzeń \(\displaystyle{ L_p(\mathsf M)}\) jest refleksywna.
Dowód: Niech \(\displaystyle{ x\in L_q(\mathsf M)}\). Wzór \(\displaystyle{ \varphi_x(y) = \tau(xy)}\) określa ograniczony funkcjonał liniowy na \(\displaystyle{ L_p(\mathsf M)}\) oraz \(\displaystyle{ \|\varphi_x\| = \|x\|_q}\) (dowodziliśmy tego już wcześniej). Mamy więc izometryczne włożenie
tzn. \(\displaystyle{ L_q(\mathsf M)}\) jest izometryczne z domkniętą podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ (L_p(\mathsf M))^*}\). W przypadku, gdy \(\displaystyle{ p\geqslant 2}\) wiemy z powyższego, ze \(\displaystyle{ L_p(\mathsf M)}\) jest refleksywne. Niech \(\displaystyle{ y\in ((L_p(\mathsf M))^*)^* = L_p(\mathsf M)}\) będzie takim elementem, że
\(\displaystyle{ \tau(xy) = \varphi_x(y) = 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in L_q(\mathsf M)}\).
Z wierności śladu \(\displaystyle{ \tau}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=0}\), tzn. zero jest jedynym anihilatorem podprzestrzeni
Z jednego z wniosków z twierdzenia Hahna-Banacha (dokładniej z twierdzenia o wydobywaniu normy) wynika, że mamy równość \(\displaystyle{ L_q(\mathsf M)= (L_p(\mathsf M))^*}\). W szczególności, przestrzeń \(\displaystyle{ L_q(\mathsf M)}\) jest również refleksyna (jako przestrzeń sprzężona do przestrzeni refleksywnej), co załatwia także przypadek, gdy \(\displaystyle{ p\in (1,2)}\). \(\displaystyle{ \square}\)