Matematyka.pl

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:
Udowodnić, że obrazem funkcji \(\displaystyle{ f: \ \prod_{i=1}^{\infty} (\{0,2\}, \mathcal{T}_{\delta}) \rightarrow ([0,1], \mathcal{T}_e)}\), danej wzorem \(\displaystyle{ f( \{ a_i \}) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{3^i}}\) jest zbiór Cantora.

Zbiór Cantora składa się z tych i tylko tych liczb z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), w których zapisie w systemie trójkowym nie ma jedynki. Zatem \(\displaystyle{ C \subset f( \prod \{0,2\})}\) (bo \(\displaystyle{ f( \prod \{0,2\})}\), to zbiór wszystkich ciągów o wyrazach \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\), a \(\displaystyle{ f( \{ a_i \}) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{3^i}}\) to po prostu zapis liczby \(\displaystyle{ 0,a_1a_2..._{_3}}\)). Z drugiej strony \(\displaystyle{ f( \prod \{0,2\}) \subset C}\), bo każdemu ciągowi składającemu się z liczb \(\displaystyle{ 0,2}\) przyporządkowujemy pewną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), w której zapisie w systemie trójkowym nie ma jedynki.

Czy w tym co napisałem jest jakiś sens? Jeśli nie, to jak to naprawić/zrobić od początku?

Z drugiej strony , bo każdemu ciągowi składającemu się z liczb przyporządkowujemy pewną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\)

De facto ze zbioru Cantora.

Argumentacja w porządku. Właśnie chodzi o zapis trójkowy.

Topologie nie mają tu nic do rzeczy. Co najwyżej do pokazania jest, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, a nawet homeomorfizmem pomiędzy produktem zbioru \(\displaystyle{ \{0,2\}}\) a trójkowym zbiorem Cantora. Ale uważaj!!! Co prawda na zbiorze \(\displaystyle{ \{0,2\}}\) mamy topologię dyskretną, ale produkt topologii dyskretnych daje piękną konstrukcję przestrzeni zwartej, w sobie gęstej i zerowymiarowej. To właśnie zbiór Canotra. Dowodzi się, że wszystkie przestrzenie zwarte zerowymiarowe i w sobie gęste są homeomorficzne. Każdą z takich przestrzeni nazywamy zbiorem Cantora. Egzemplifikacją jest trójkowy zbió cantora, który znamy od samego początku studiów matematycznych.