parametr w pierścieniu

[Karolina93]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ b \in Z _{12}}\) układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases}3x+y=b \\ x-y=2\end{cases}}\) ma rozwiązanie w zbiorze \(\displaystyle{ Z _{12}}\)

Wie ktoś jak to zrobić ? proszę o pomoc.

[ares41]

Na szybko - z drugiego wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\), wstawić do pierwszego i zrobić tak, żeby w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) wyrażenie z niewiadomą się nam wyzerowało.

[Karolina93]

\(\displaystyle{ 4x=b+2}\)
I teraz co ? Mam podstawiać za b liczby od \(\displaystyle{ \left\{ 1,2....11\right\}}\)i szukać takiego x dla których to jest prawda w pierścieniu\(\displaystyle{ Z _{12}}\)?

[ares41]

Pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\) otrzymane równanie.

[Karolina93]

\(\displaystyle{ 12x=3b+6}\)
\(\displaystyle{ x=3b+6}\)
\(\displaystyle{ y= 3b+4}\)

I to jest już rozwiązanie ?

[ares41]

Nie o to chodziło.

Ile to jest \(\displaystyle{ 12x}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}_{12}}\) ?

[Karolina93]

0

[ares41]

No więc korzystając z tego wyznaczasz szukane \(\displaystyle{ b}\)

[Karolina93]

\(\displaystyle{ b=-2}\) I to już koniec zadania ?

[bough]

W \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) z tego, że \(\displaystyle{ 3b = -6}\), nie wynika, że \(\displaystyle{ b = -2}\). Wszystkie rozwiązania (tego jednego równania \(\displaystyle{ 3b = -6}\)) to \(\displaystyle{ 2, 6, 10}\).
No i trzeba też powiedzieć, że każde takie \(\displaystyle{ b}\) jest ok, bo możesz dla dowolnego takiego \(\displaystyle{ b}\) rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 4x - 2 = b}\), a do tego już spokojnie dobierasz odpowiedni \(\displaystyle{ y}\).