Wnętrze, domknięcie zbioru

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
Natasha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 97 razy
Pomógł: 167 razy

Wnętrze, domknięcie zbioru

Post autor: Natasha » 4 lis 2012, o 11:58

W przestrzeni \(\displaystyle{ l ^{\infty}}\) dane są trzy zbiory:

\(\displaystyle{ A_1=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: sup |x_n|<1 \right\}}\), \(\displaystyle{ n \in N}\).
\(\displaystyle{ A_2=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: \forall x\in N |x_n|<1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ A_3=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: \forall x\in N |x_n| \le 1 \right\}.}\)
Czy zbiory te są różne? Znaleźć wnętrze int(\(\displaystyle{ A_i}\)) i domknięcie \(\displaystyle{ \overline{A_i}}\) każdego z nich.

Jak się rozwiązuje takie zadania?

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Wnętrze, domknięcie zbioru

Post autor: Spektralny » 4 lis 2012, o 12:53

Zauważ, że \(\displaystyle{ sup [0,1) = 1}\).

Awatar użytkownika
Natasha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 97 razy
Pomógł: 167 razy

Wnętrze, domknięcie zbioru

Post autor: Natasha » 4 lis 2012, o 18:12

No i co z tego wynika?

Miroslav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 9 paź 2009, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: RZ
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 2 razy

Wnętrze, domknięcie zbioru

Post autor: Miroslav » 8 lis 2012, o 19:17

Nie wiem czy dobrze to rozkminiłem, ale z uwagi @Spektralny wynika, że \(\displaystyle{ \sup A_2=1}\), a skoro \(\displaystyle{ \sup A_1<1}\), to \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2}\). \(\displaystyle{ \sup A_3 = 1}\), ale elementy ciągów występujących w tym zbiorze mogą być równe \(\displaystyle{ 1}\), dlatego \(\displaystyle{ A_2 \subset A_3}\). Dlatego \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2 \subset A_3.}\) Jeśli coś namieszałem, to niech ktoś poprawi.

Marien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 25 mar 2011, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 1 raz

Wnętrze, domknięcie zbioru

Post autor: Marien » 27 gru 2013, o 11:35

A w jaki sposób znaleźć wnętrza i domknięcia tych zbiorów?

ODPOWIEDZ