Matematyka.pl

Jak wyznaczyć rozwinięcie w szereg Fouriera zwykłego sinusa w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle - \pi , \pi \right\rangle}\)?

Nie wychodzi mi zupełnie ;/

Po prostu sinus. Prawie wszystkie współczynniki Fouriera są zerowe.

Z tego samego powodu, co nie wychodzi rozwinięcie nieskończone \(\displaystyle{ x}\) w szereg Taylora...

Wychodzi, tyle że z prawie wszystkimi wyrazami zerowymi Wielomian jest sam swoim rozwinięciem Taylorowskim. Dokładniej - w postaci sumy potęg \(\displaystyle{ x}\) - rozwinięciem maclaurinowskim.

to powiedzcie mi tylko, dlaczego wolfram tak liczy:

Wolfram nie jest alfą i omegą.

bo to co jest w tym wyrażeniu to po prostu obliczony współczynnik bn dla n=1. Mi wychodzi 0/0 a skoro rozwinięciem sinusa ma być sinus to powinno wyjść 1

-- 3 lis 2012, o 21:44 --

gdy liczę współczynnik bn i założę z góry n=1 to dostaję całkę z sinusa kwadrat i ślicznie wychodzi na końcu jedynka.

ale gdy tę samą całkę liczę dla pozostałych n to na końcu otrzymuję taką postać:

\(\displaystyle{ \frac{2 \cdot \sin ( \pi \cdot n)}{ \pi \cdot (1-n^2)}}\)

i przecież teraz jak podstawię n=1 to powinienem dostać też jedynkę a nie idzie podstawić n=1....

dodam, że tę całkę liczę z rozbicia :
\(\displaystyle{ 2\sin x \cdot \sin (nx)=\cos (x-nx)-\cos (x+nx)}\)

Gdzieś w procesie liczenia musisz zakładać, że \(\displaystyle{ n \neq 1.}\) Przypuszczalnie przy podstawieniu

\(\displaystyle{ t=x(n-1) \\
\mbox dx = \frac{ \mbox dt}{n-1}}\)

lub podobnym.
A Wolfram w tym przypadku się nie myli, bo bardzo sensownie jest przypisać wyrażeniu

\(\displaystyle{ \frac{2 \cdot \sin ( \pi \cdot n)}{ \pi \cdot (1-n^2)}}\)

wartość \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,}\) bo taka wychodzi granica.
Przy okazji widać z tego, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to 1} \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin x \cdot \sin(nx) \mbox dx = 1,}\)

skąd przy odrobinie narzędzi można wywnioskować, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin x \cdot \sin x \mbox dx = 1.}\)

Ale chyba łatwiej policzyć standardowo.

dzięki wielkie, bro! masz absolutną racje xD