Matematyka.pl

Witam,

Zaczynam się właśnie uczyć algebry abstrakcyjnej i mam problem z działaniem łączności. W sumie to nawet kilka problemów . Może dla osób lepiej z nią obeznanych wydadzą się nieraz błahe, aczkolwiek pomyślałem, że warto się spytać o jakąś radę, podpowiedź/naprowadzenie, odpowiedź bądź odnośnik, to będzie o wiele szybciej i łatwiej mi to opanować

Załóżmy, że mamy grupę n-elementową \(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\). Możemy mieć w niej \(\displaystyle{ n^{n^2}}\) różnych działań dwuargumentowych. Teraz:

1) Ile jest działań łącznych? Ilość działań przemiennych czy posiadających element neutralny jest łatwo policzyć, jednak z łącznością mi jakoś nie idzie.

2) Jak interpretować łączność działania przy pomocy tabelki? Albo jak ją łatwo wykluczyć?
Np. w przypadku elementu odwrotnego, który jest wyznaczony jednoznacznie, dostajemy, że w każdym wierszu i kolumnie tabelki element neutralny musi wystąpić dokładnie raz. Kolumna/wiersz odpowiadające działaniu elementem odwrotnym lub na element odwrotny, muszą być wypełnione kolejno wszystkimi elementami grupy. Niby banały, ale mam problem w przypadku podobnych analogii jeśli chodzi o łączność.

3) Jak policzyć kombinatorycznie, ile można utworzyć grup na zbiorze n-elementowym?

Z góry dziękuję i pozdrawiam

//EDIT:
Czy może nie są to jednak tak banalne rzeczy?

Załóżmy, że mamy grupę \(\displaystyle{ n}\)-elementową \(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\). Możemy mieć w niej \(\displaystyle{ n^{n^2}}\) działań

W grupie \(\displaystyle{ G}\) może być jedno działanie. Pytanie jest raczej, ile można utworzyć działań w zbiorze \(\displaystyle{ G}\), tak? Ta odpowiedź jest dobra.

Co do 3., odsyłam do dyskusji:
311813.htm#p4991540

Pierwszy problem jest ciekawy. Postaram się znaleźć jakieś rozwiązanie do niego.

Dokładnie, o to mi chodziło, uznajmy to za przejęzyczenie

Dzięki za odnośnik, postaram się jutro wziąć za warstwy, izomorfizmy itp. i to spróbować samemu powoli rozgrywać, zaczynając od tych prostszych przykładów jak np. zbiory 4-elementowe. W razie dojścia do jakiejś konkluzji (lub jej braku) będę pisał.

-- 10 listopada 2012, 17:44 --

Czy zadane przeze mnie pytanie nr 1. jest problemem otwartym? Wie ktoś może?-- 10 listopada 2012, 18:12 --Trochę szukałem na ten temat i chyba jednak jest, ponadto nie jest to łatwa do policzenia rzecz.


Myślę, że można zamknąć temat,
pozdrawiam