Matematyka.pl

Witam!
Mam taką kongruencje:

zad. Podać wszystkie liczby całkowite x, otrzymując postać \(\displaystyle{ x ≡ ... (mod ...)}\)
\(\displaystyle{ 7x}\) ≡ \(\displaystyle{ 4 (mod 10)}\)

Najpierw sprawdzam czy kongruencja jest sprzeczna na podstawie założenia \(\displaystyle{ ax = b (mod c)}\)
to jeśli \(\displaystyle{ NWD (a,c) \neq NWD (a,b,c)}\) to kongruencja nie posiada rozwiązań.

W tym przypadku \(\displaystyle{ NWD (7,10) = NWD (7,4,10)}\)

Z tego co wynalazłem to \(\displaystyle{ x=2}\)
ponieważ \(\displaystyle{ 14 modulo 10 = 4}\)

Ale jeśli to nawet jest rozwiązanie to nie wiem jak to rozpisać, co więcej na zajęciach podano mi znak przystawania ≡ nie wiem czy różni się od zwykłego =. Czy po prostu ≡ używa się przy modulo, a bez modulo =?

Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam

Fakt: Niech \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{Z}}\) oraz niech \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}}\) będzie takie, iż \(\displaystyle{ \mbox{nwd}(a,m)|b}\). Ustalmy również takie \(\displaystyle{ r,s\in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ \mbox{nwd}(a,m) = ra + sm}\) (ich istnienie wynika z zastosowania algorytmu Euklidesa). Wówczas \(\displaystyle{ x = br / \mbox{nwd}(a,m)}\) jest rozwiązaniem kongrunecji

\(\displaystyle{ ax\equiv b \mbox{ mod }m}\).

W takim razie skoro
\(\displaystyle{ 10 : 7 = 1}\) reszty 3
\(\displaystyle{ 7 : 3 = 2}\) reszty 1
\(\displaystyle{ 3 : 1 = 3}\) reszty 0
Zatem
\(\displaystyle{ NWD = (7,10) = 1}\) to \(\displaystyle{ r}\) powinno być równe \(\displaystyle{ 1}\), ale możesz mi wytłumaczyć czym są liczby \(\displaystyle{ r, s}\) z algorytmu Euklidesa? I jak je na podstawie tego algorytmu w tym przypadku znaleźć?