Wartość oczekiwana procesu stochastycznego,
: 2 lis 2012, o 22:17
Zad.
Dany jest proces: \(\displaystyle{ Y_t= \sum\limits^{N_t}_{i=1}{X_i}, \ t \geqslant 0}\) gdzie \(\displaystyle{ \{ N_t \}}\) jest procesem Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda}\), a \(\displaystyle{ \{ X_i \}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wyznaczyć \(\displaystyle{ E(Y_t)}\).
\(\displaystyle{ E(Y_t)=E(E(Y_t | N_t))=E(E( \sum\limits^{N_t}_{i=1}{X_i} |N_t))=E(E (\sum\limits^{m}_{i=1}{X_i} |_{m=N_t}))=E((mE(X_i)|_{m=N_t})=E(N_t \cdot E(X_i))=E(N_t) \cdot E(X_i)= \lambda t E(X_i)}\).
Mam jeszcze jedno pytanie odnośnie takiego zadania:
Dane są dwa niezależne procesy Poissona \(\displaystyle{ (N_t,N_t')}\). Pokazać że \(\displaystyle{ N_t + N_t'}\) jest procesem Poissona.
Można tutaj pokazać, że jest procesem Poissona poprzez funkcje charakterystyczną jak ma to miejsce w przypadku niezależnych zmiennych losowych np. o rozkładzie Poissona.
Bardzo proszę o sprawdzenie i pomoc w tym drugim zadaniu.
Dany jest proces: \(\displaystyle{ Y_t= \sum\limits^{N_t}_{i=1}{X_i}, \ t \geqslant 0}\) gdzie \(\displaystyle{ \{ N_t \}}\) jest procesem Poissona z intensywnością \(\displaystyle{ \lambda}\), a \(\displaystyle{ \{ X_i \}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Wyznaczyć \(\displaystyle{ E(Y_t)}\).
\(\displaystyle{ E(Y_t)=E(E(Y_t | N_t))=E(E( \sum\limits^{N_t}_{i=1}{X_i} |N_t))=E(E (\sum\limits^{m}_{i=1}{X_i} |_{m=N_t}))=E((mE(X_i)|_{m=N_t})=E(N_t \cdot E(X_i))=E(N_t) \cdot E(X_i)= \lambda t E(X_i)}\).
Mam jeszcze jedno pytanie odnośnie takiego zadania:
Dane są dwa niezależne procesy Poissona \(\displaystyle{ (N_t,N_t')}\). Pokazać że \(\displaystyle{ N_t + N_t'}\) jest procesem Poissona.
Można tutaj pokazać, że jest procesem Poissona poprzez funkcje charakterystyczną jak ma to miejsce w przypadku niezależnych zmiennych losowych np. o rozkładzie Poissona.
Bardzo proszę o sprawdzenie i pomoc w tym drugim zadaniu.