Matematyka.pl

Cześć, mam do rozwiązania takie zadanie.

Rezultaty estymacji na podstawie próby rocznej 1993-2004 parametrów modelu \(\displaystyle{ y _{t} = \alpha _{0} + \alpha _{1} x _{1,t} + \alpha _{2} x _{2,t}}\) są następujące:

\(\displaystyle{ (X^TX) ^{-1} = \left\{ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{4} & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6}\\ -\frac{1}{6}& \frac{1}{3}& x \\ -\frac{1}{6} & x & \frac{1}{3}
\end{array} \right\} ;\;
\sum{y _{t} = 36 , \sum{x _{t} , _{t} y _{t} = 54 , \sum{x _{2},y _{t} = 12 .}\)

Wiedząc, że długość 95-procentowego przedziału ufności dla sumy \(\displaystyle{ \alpha _{1} + \alpha _{2} = 3,0163}\) wyznacz oceny parametrów.

Ze wzoru na estymację:
\(\displaystyle{ \check{\alpha} _{1} + \check{\alpha} _{2} + \check{\sigma} _{\alpha _{1}+\alpha _{2}} \cdot t _{0,975;9} - \check{\alpha} _{1} - \check{\alpha} _{2} + \check{\sigma} _{\alpha _{1}+\alpha _{2}} \cdot t _{0,975;9} = 3,0163}\)

\(\displaystyle{ \check{\sigma} _{\alpha _{1}+\alpha _{2}} = \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ \check{\sigma} _{\alpha _{1}+\alpha _{2}}^{2} = \frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ \check{\sigma} _{\alpha _{1}+\alpha _{2}}^{2} = \check{\sigma} _{\alpha _{1}}^{2} + \check{\sigma} _{\alpha _{2}}^{2} + 2\cdot cov(\alpha _{1},\alpha _{2})}\)

W związku z tym, że:
\(\displaystyle{ \check{\sigma}^{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ \check{{D}}^{2}({\check{\alpha}}) = (X^TX) ^{-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 2 \cdot x = \frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ x = -\frac{1}{9}}\)

Po przemnożeniu \(\displaystyle{ (X^TX) ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ (X^Ty)}\) otrzymałem:
\(\displaystyle{ \alpha =\begin{bmatrix}
-2\\
\frac{32}{3}\\
-8
\end{bmatrix}}\)

Niestety, według odpowiedzi parametrami powinny być odpowiednio -2, 12 i -2.
Czy to ja się mylę, czy klucz?

Powiem Ci, że nie widzę błędu u Ciebie.
Sprawdzając obliczenia, zauważyłam że wynik taki, jak w odpowiedziach wyjdzie wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=0}\).
Jednak zauważ, że macierz \(\displaystyle{ \left( X^TX\right) ^{-1}}\) jest nieodwracalna, gdy \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{9}}\), natomiast gdy \(\displaystyle{ x=0}\) można ładnie wrócić do macierzy: \(\displaystyle{ X^TX=\begin{bmatrix} 12&6&6\\6&6&3\\6&3&6\end{bmatrix}}\)
Coś jest chyba namieszane w tym zadaniu, jeśli chodzi o liczby, które zostały podane. Rozumiem, że danych początkowych nie masz? Wszystko zaczyna się od podanych macierzy?

Tak, wszystkie dane, które miałem podane, napisałem tutaj.

W zbiorze zadań mam bardzo podobne zadanie już rozwiązane przez autora, różni się tylko ilością podanych danych i rzeczywiście tam wychodzą \(\displaystyle{ 0}\), a nie \(\displaystyle{ -\frac{1}{9}}\).

Wydaje mi się, że błąd jest w podanej długości przedziału, w każdym bądź razie jestem spokojny, bo okazało się, że to nie ja się pomyliłem. Dzięki.