Matematyka.pl

Witam,
Chcę obliczyć różniczkę drugiego stopnia z funkcji \(\displaystyle{ y=x^3}\).
Mogę to zrobić na dwa sposoby:
I)
\(\displaystyle{ \frac{ d^{2}y }{ dx^{2} }=6x}\)

i z tego wynika że \(\displaystyle{ d^{2}y= 6x dx^{2}}\)

II)
Najpierw liczę pierwszą różniczkę:

\(\displaystyle{ dy=3 x^{2}dx}\)

a potem drugą różniczkę:

\(\displaystyle{ d(dy)=d(3 x^{2}dx)=...}\)

i tutaj właśnie nie wiem jak interpretować to d(dx), nie wiem po prostu jak z tego poprawnie matematycznie dojść do wyniku z pierwszego sposobu.
--------------------

i jeszcze jedna sprawa,
na zajęciach obliczaliśmy dwoma sposobami objętość dV "cienkiej skórki"(o grubości dr) kuli o promieniu r.

I sposób)
\(\displaystyle{ dV=4 \pi r^{2}dr}\)

II sposób)
\(\displaystyle{ dV= \frac{4}{3}\pi (r+dr) ^{3}- \frac{4}{3} \pi r ^{3}= \frac{4}{3} \pi (3 r^{2}dr+3r (dr)^{2}+(dr) ^{3} )}\)

po czym opuściliśmy dwa ostatnie wyrazy w nawiasie przyjmując że wynoszą one zero i wtedy wynik wyszedł taki sam jak w pierwszym sposobie. I tutaj znów mam pytanie czy istnieje jakieś prawo matematyczne które pozwala na takie-jak widać poprawne uproszczenia?

Jeśli już chcesz tak kombinować to bardziej poprawnie będzie to:
\(\displaystyle{ y=x^{3}\\
\mbox{d}y=3 x^{2}\mbox{d}x\\
\mbox{d}(\mbox{d}y)=6 x\mbox{d}x\mbox{d}x\\
\mbox{d}^{2}y=6x\mbox{d}x^{2}}\)

W drugim przypadku chodzi Ci chyba o aproksymacje za pomocą płaszczyzny stycznej, tak?

czy ktoś jeszcze mógłby się wypowiedzieć?