Matematyka.pl

Dzień dobry. Mógłby mi ktoś wyjaśnić dokładnie jak zrobić następujące zadania?

Polecenie: Znaleźć wektory i wartości własne macierzy:

a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\2&1&-2\end{array}\right]}\)

b)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right]}\)

Wartości własnych szukamy wśród pierwiastków wielomianu charakterystycznego:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\2&1&-2-\lambda \end{array}\right| = 0}\)

\(\displaystyle{ -\lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda + 2 = 0

(\lambda + 2)(1 - \lambda)(1 + \lambda) = 0}\)

Dla każdej wartości własnej szukamy odpowiadającego jej wektora własnego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\2&1&-2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right] = \lambda \cdot \left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\2&1&-2-\lambda \end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right] = \left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right]}\)

Na przykład dla \(\displaystyle{ \lambda = 2}\) mamy układ

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2 &1&0\\0&2 &1\\2&1& 0 \end{array}\right] \cdot
\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right] = \left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right]}\)

Trzecie równanie odrzucamy, \(\displaystyle{ x,y}\) - zmienne bazowe, \(\displaystyle{ z}\) - parametr. Wektór własny z definicji jest niezerowy, weźmy więc np \(\displaystyle{ z = 4}\). Wtedy \(\displaystyle{ y = -2, x=1}\). Otrzymujemy wektor własny : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}
4 \\
-2 \\
1
\end{array} \right]}\)

Czyli wartości własne wynoszą
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=-2}\)
a wektory własne (dla z=4)
dla \(\displaystyle{ \lambda=-2}\): \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right]}\), dla \(\displaystyle{ \lambda=-1}\): \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 4 \end{array} \right]}\), dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\): \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right]}\)
?