Matematyka.pl

Hej! Mam taki pierwiastek:
\(\displaystyle{ x = 1- \frac{3 \sqrt{-a} }{a}}\)

i muszę znaleźć takie \(\displaystyle{ a}\), żeby \(\displaystyle{ x}\) należało do całkowitych.


Jak to zrobić? Na razie wywnioskowałam, że:

\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{-a} }{a}}\) należy do Całkowitych

\(\displaystyle{ a < 0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-a}}\) należy do Wymiernych


I co - mam sprawdzać każdą liczbę, która zawiera wymierny pierwiastek (czyli \(\displaystyle{ -1, -4, -9, -16.. n}\)) czy jest na to jakiś inny sposób? Może jeszcze jakaś zależność?

Lunette pisze:Jak to zrobić? Narazie wywnioskowałam, że:

\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{-a} }{a}}\) należy do Całkowitych

\(\displaystyle{ a < 0}\)

Z tego wynika, że

\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{-a} }{a}=-k \ \ \ k=1,2,3,...\\ \\
3 \sqrt{-a}=-ak \\ \\
-9a=a ^{2}k ^{2} \\ \\
a(ak ^{2}+9)=0 \\ \\
ak ^{2}=-9 \\ \\
a= \frac{-9}{k ^{2} }}\)

Podstawiając kolejne \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\) otrzymasz nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ a}\) dla których \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą.