Matematyka.pl

Proszę o podpowiedź jak znaleźć pierwiastki wielomianu
\(\displaystyle{ W(x) = x^3 - 2x^2 -4x -8}\) i ewentualnie \(\displaystyle{ Q(x)=x^4-5x^3+2x^2+20x-24}\) dziękuj za pomoc!

Ja bym zaczął od znalezienia pierwszego pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego, a potem podzielił dany wielomian przez \(\displaystyle{ (x-x_{0})}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{0}}\) to pierwszy znaleziony pierwiastek...

\(\displaystyle{ x^4-5x^3+2x^2+20x-24=0\\
\left( x^4-5x^3\right)-\left( -2x^2-20x+24\right)=0\\
\left( x^4-5x^3+\frac{25}{4}x^2\right)-\left( \frac{17}{4} x^2-20x+24\right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x \right)^2-\left( \frac{17}{4} x^2-20x+24\right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+\frac{17}{4}\right)x^2-\left( \frac{5}{2}y+20 \right)x+ \frac{y^2}{4}+24 \right)\\
\left( y^2+96\right)\left( y+ \frac{17}{4} \right)-\left( \frac{5}{2}y+20 \right)^2=0\\
y^3+\frac{17}{4}y^2+96y+408- \frac{25}{4}y^2-100y-400=0\\
y^3-2y^2-4y+8=0\\
y^2\left( y-2\right)-4\left( y-2\right)=0\\
\left( y^2-4\right)\left( y-2\right)=0\\
y=2\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+1 \right)^2-\left( \frac{25}{4}x^2-25y+25 \right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+1 \right)^2-\left( \frac{5}{2}x-5 \right)^2=0\\
\left( x^2-5x+6\right)\left( x^2-4\right)=0\\
\left( x-2\right)\left( x-3\right)\left( x+2\right)\left( x-2\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-2\right)^2\left( x-3\right)=0\\}\)

Z tym pierwszym wielomianem podobnie tyle że najpierw rugujesz wyraz \(\displaystyle{ -2x^2}\)

\(\displaystyle{ x^3 - 2x^2 -4x -8=0\\
\left( y+ \frac{2}{3} \right)^3-2\left( y+ \frac{2}{3} \right)^2-4\left( y+ \frac{2}{3} \right)-8=0\\
y^3+2y^2+ \frac{4}{3}y+ \frac{8}{27}-2y^2- \frac{8}{3}y- \frac{8}{9}-4y-\frac{8}{3}-8=0\\
y^3-\frac{16}{3}y-\frac{304}{27}=0\\
y^3= \frac{16}{3}y+\frac{304}{27}\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3+\frac{16}{3}y+\frac{304}{27}\\
\left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2+\frac{16}{3}\right)+z^3+\frac{304}{27}\\
3yz+3z^2+\frac{16}{3}=0\\
3yz+3z^2=-\frac{16}{3}\\
3z\left( y+z\right)=-\frac{16}{3}\\
y+z=-\frac{16}{9z}\\
-\frac{4096}{729z^3}= z^3+\frac{304}{27}\\
z^3+\frac{304}{27}+\frac{4096}{729z^3}=0\\
z^6+\frac{304}{27}z^3+ \frac{4096}{729}=0\\
\left( z^3+ \frac{152}{27} \right)^2-\frac{23104}{729}+\frac{4096}{729}=0\\
\left( z^3+ \frac{152}{27} \right)^2-\frac{19008}{729}=0\\
\left( z^3+ \frac{152- \sqrt{19008} }{27} \right)\left( z^3+ \frac{152+\sqrt{19008} }{27} \right)=0\\
z=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{152+ \sqrt{19008}}\\
y_{1}+z_{1}=-\frac{16}{9z_{1}}\\
y_{1}=-z_{1}-\frac{16}{9z_{1}}\\
x_{1}=-z_{1}-\frac{16}{9z_{1}}+\frac{2}{3}\\
x_{1}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{152+ \sqrt{19008}}+\frac{16}{3\sqrt[3]{152+ \sqrt{19008}}}+\frac{2}{3}\\}\)
Pozostałe pierwiastki można obliczyć albo korzystając z pierwiastków z jedynki
albo z twierdzenia Bezout

W pierwszym przypadku skorzystaj z metody grupowania wyrazów, w drugim z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i podziel schematem Hornera.