Matematyka.pl

Krotkie pytanie: zalozmy, ze mamy dana powierzchnie \(\displaystyle{ S}\) opisana przez parametryzacje \(\displaystyle{ \Phi}\):

\(\displaystyle{ x=\phi_1 (u,v)}\)
\(\displaystyle{ y=\phi_2 (u,v)}\)
\(\displaystyle{ z=\phi_3 (u,v)}\)

gdzie wiadomo wszystkie funkcje sa \(\displaystyle{ C^1}\) i w ogole wszystko ladnie.

Jak wyprodukowac wektor normalny (w punkcie \(\displaystyle{ (u,v)}\)) do takiej powierzchni?

Gdy jest tak wszytko ładnie to wektor normalny liczymy tak:
\(\displaystyle{ \vec{n} = ( \frac{ \partial \phi_1}{ \partial u} ,\frac{ \partial \phi_2}{ \partial u},\frac{ \partial \phi_3}{ \partial u} ) \times (\frac{ \partial \phi_1}{ \partial v} , \frac{ \partial \phi_2}{ \partial v} , \frac{ \partial \phi_3}{ \partial v} )}\)
Mnożenie jest wektorowe. Pamiętaj też że obliczając ten wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}}\) to wektor \(\displaystyle{ - \vec{n}}\) też jest normalny i w liczeniu całki skierowanej ważna jest orientacja powierzchni względem której liczymy całkę.

Ten wektor nie jest jednostkowy prawda? Wobec tego we wzor na calke skierowana powierzchniowa wyglada tak:

\(\displaystyle{ \iint_{S} \vec{F}(x,y,z) \cdot \vec{dS} = \iint_{D} \vec{F}(x(u,v),...) \cdot \frac{\vec{n}}{\left| \left| \vec{n}\right|\right| } du dv}\)

Czyli przy parametryzacji typu:

\(\displaystyle{ x=u}\)
\(\displaystyle{ y=v}\)
\(\displaystyle{ z=g(u,v)}\)

dostajemy (jesli \(\displaystyle{ \vec{F}=(P,Q,R)}\))

\(\displaystyle{ \vec{n} = (-\frac{\partial g}{\partial u} , - \frac{\partial g}{\partial v},1)}\)

czyli
\(\displaystyle{ \iint_{D} \vec{F}(x(u,v),...) \cdot \frac{\vec{n}}{\left| \left| \vec{n}\right|\right| } du dv
= \iint_{D} \vec{F}(x(u,v),...) \cdot \frac{(-\frac{\partial g}{\partial u} , - \frac{\partial g}{\partial v},1)}{\sqrt{1+(\frac{\partial g}{\partial u})^2 + (\frac{\partial g}{\partial v})^2}}dudv
= \iint_{D} \frac{-P \frac{\partial g}{\partial u} - Q \frac{\partial g}{\partial v}+R}{\sqrt{1+(\frac{\partial g}{\partial u})^2 + (\frac{\partial g}{\partial v})^2}}dudv}\)

jednak to nie to samo co mam w ksiazce, gdzie w ogole nie ma tego mianownika. Dlaczego? Przeciez el. skierowany powierzchni \(\displaystyle{ \vec{dS}}\) ma wartość \(\displaystyle{ dudv}\) i kierunek normalny, czyli po prostu jest wektorem jednostkowym normalnym pomnozonym przez \(\displaystyle{ dudv}\)?