Matematyka.pl

Udowodnij tożsamość:
\(\displaystyle{ arc sin x = arc tg \frac{x}{ \sqrt{1 -x ^{2} } }}\)
Są jakieś własność/tożsamości które mogłyby być pomocne?

Rozważ funkcję
\(\displaystyle{ f(x)={\rm arcsin}\, x - {\rm arctg} \frac{x}{ \sqrt{1 -x ^{2} } }}\).
Chcesz pokazać, że jest ona równa stale 0.

Sprawdź, że

\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}f(x)=0}\),

skąd wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą. Ale \(\displaystyle{ f(0)=0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in [-1,1]}\).

Można też tak:
Ponieważ dziedziny obu stron równości do dowiedzenia są równe i funkcje arc sin i arc tg są różnowartościowe mogę potraktować obie strony funkcją tangens.
Czyli \(\displaystyle{ arcsinx=arctg \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } } \Leftrightarrow tg(arcsinx)=tg(arctg \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } })}\)
a zatem równoważnie
\(\displaystyle{ \frac{ sin(arcsinx)}{(cos(arcsinx)}= \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ cos(x)= \sqrt{1-sin ^{2}x} \Rightarrow cos(arcsinx)= \sqrt{1-sin ^{2}arcsinx} = \sqrt{1-x ^{2}}\)
wstawiając do równości otrzymamy to co chcemy.

Dzięki wielkie!
Szczególnie rozwiązanie Marian517 jest bardzo przydatne