Strona 1 z 1
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 20 paź 2012, o 16:30
autor: zielinciech
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartośc funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin x+\cos x}}\)
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 20 paź 2012, o 16:53
autor: Vardamir
Podpowiedz:
\(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin{(\frac{\pi}{4}+x)}}\)
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 10:21
autor: zielinciech
Czy to rozwiązanie jest poprawne??
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sin x+\cos x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2} \sin (x+ \frac{\pi}{4})}}\)
\(\displaystyle{ -1 \le \sin (x+ \frac{\pi}{4}) \le 1}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{2} \le \ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2}} \le \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) }\le \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 10:35
autor: Vardamir
Moja podpowiedz była myląca.
Zastanów się najpierw co jest dziedziną funkcji.
edit
Choć z tego co wyliczyłeś też już coś wynika.
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 10:38
autor: zielinciech
również się pomyliłem, zapomniałem dopisac warunku z treści zadania :/
\(\displaystyle{ x \in (0,\frac{ \pi }{2}]}\)-- 21 paź 2012, o 10:47 --ok najmniejsza wartośc jest w 0 i nie wynosi -1 tylko 0??
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 11:01
autor: Vardamir
W ostatniej linijce twoich rachunków trzeba zmienić znaki nierówności na przeciwne. Ale tak jak mówiłem ta podpowiedz jest myląca.
\(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2}} \ge \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) }\ge \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Ale zauważ następującą rzecz.
\(\displaystyle{ (\frac{1}{\sin x+\cos x})' = \frac{\sin x - \cos x}{(\sin x + \cos x)^{2}}}\)
Kiedy funkcja ma minimum, a kiedy maksimum? Jak się ma do tego pochodna funkcji?
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 11:15
autor: zielinciech
nie miałem pochodnych, ciężko mi się odnieśc
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 11:32
autor: Vardamir
Hmm..
Więc tak, zauważ że w przedziale który podałeś wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4})}}\) jest dodatnie.
Wiemy już, że:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{ \sqrt{2}} \ge \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) }\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) } \le \frac{-1}{ \sqrt{2}} \vee \frac{1}{ \sqrt{2} sin (x+ \frac{\pi}{4}) } \ge \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Teraz sprawdzamy wartość w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\). W obu przypadkach wychodzi \(\displaystyle{ 1}\).
Zatem minimum wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) ,a maximum 1.
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 11:39
autor: zielinciech
dlaczego musimy sprawdzic wartosci w tych punktach??
Najmniejsza i największa wartośc funkcji trygonometrycznej.
: 21 paź 2012, o 11:46
autor: Vardamir
Bo funkcja jest monotoniczna przedziałami.