Granice różnych ciągów
: 20 paź 2012, o 00:01
1. Sprawdź, czy podany ciąg jest wyrażeniem nieoznaczonym i wykaż, że wskazana liczba jest jego granicą:
\(\displaystyle{ 1 \right) \frac{ \sqrt{1+2n^2} - \sqrt{1+4n^2} }{n} \to 2+ \sqrt{2}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{5 \cdot 2^3^n -1}{4^2^n^-^1 +2} \to 0}\)
3) \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2} \right) ^n \frac{2^n^+^1 -1}{3^n^+^1 -1} \to \frac{2}{3}}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{n^2}\sin n! }{n+1} \to 0}\)
5) \(\displaystyle{ \frac{ \left( n+1 \right) ^1^0+ \left( n+2 \right) ^{10}+...+ \left( n+1 \right) ^{10}}{n^{10} +10^{10}} \to 100}\)
6) \(\displaystyle{ \frac{2+4+...+2^3^{n^{-2}}}{3+9+...+3^{2^n}} \to 0}\)
2. Wykaż, że podane ciągi są rozbierzne do \(\displaystyle{ + \infty}\) lub do \(\displaystyle{ - \infty}\) albo nie mają ani skończonej, ani nieskończonej granicy:
\(\displaystyle{ 1 \right) \left( \frac{n^3+2}{2n^3 +1} \right) ^{-n} \to + \infty \frac{}{}}\)
2) \(\displaystyle{ \left( -1 \right) ^n}\)
3) \(\displaystyle{ \left( -2 \right) ^n}\)
4) \(\displaystyle{ n^{(-1)^n\cdot n}\)
Nie wiem jak to zapisać. Przykład ma wyglądać tak: n do -1 i to -1 do potęgi n razy n (to ostatnie n w pierwszej potędze, czyli na wysokości -1)
\(\displaystyle{ 1 \right) \frac{ \sqrt{1+2n^2} - \sqrt{1+4n^2} }{n} \to 2+ \sqrt{2}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{5 \cdot 2^3^n -1}{4^2^n^-^1 +2} \to 0}\)
3) \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2} \right) ^n \frac{2^n^+^1 -1}{3^n^+^1 -1} \to \frac{2}{3}}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[3]{n^2}\sin n! }{n+1} \to 0}\)
5) \(\displaystyle{ \frac{ \left( n+1 \right) ^1^0+ \left( n+2 \right) ^{10}+...+ \left( n+1 \right) ^{10}}{n^{10} +10^{10}} \to 100}\)
6) \(\displaystyle{ \frac{2+4+...+2^3^{n^{-2}}}{3+9+...+3^{2^n}} \to 0}\)
2. Wykaż, że podane ciągi są rozbierzne do \(\displaystyle{ + \infty}\) lub do \(\displaystyle{ - \infty}\) albo nie mają ani skończonej, ani nieskończonej granicy:
\(\displaystyle{ 1 \right) \left( \frac{n^3+2}{2n^3 +1} \right) ^{-n} \to + \infty \frac{}{}}\)
2) \(\displaystyle{ \left( -1 \right) ^n}\)
3) \(\displaystyle{ \left( -2 \right) ^n}\)
4) \(\displaystyle{ n^{(-1)^n\cdot n}\)
Nie wiem jak to zapisać. Przykład ma wyglądać tak: n do -1 i to -1 do potęgi n razy n (to ostatnie n w pierwszej potędze, czyli na wysokości -1)