Matematyka.pl

mam problem ze znalezieniem granicy dla dwóch ciągów: a) \(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt[n]{2 ^{n}+4 ^{n} }}\)
b) \(\displaystyle{ d_{n} = \sqrt[n]{5 ^{n}+71 ^{n} }}\)
Zupełnie nie mam pojęcia jak z tym ruszyć

Z trzech cięgów.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} } \le \sqrt[n]{2 ^{n}+4 ^{n} } \le \sqrt[n]{4 ^{n}+4 ^{n} }}\)

Lewy i prawy ciąg dążą do \(\displaystyle{ 4}\), więc ten w środku również dąży do \(\displaystyle{ 4}\). Drugi analogicznie.

a mógłbys mi to bardziej łopatologicznie wytłumaczyc bo zupełnie nie wiem o co chodzi w twierdzeniu o 3 ciągach

Tw. o trzech ciągach mówi, że jeśli prawdą jest, że od pewnego \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności \(\displaystyle{ a_n \le b_n \le c_n}\) oraz ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ c_n}\) mają wspólną granicę, to ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest zbieżny do tego samego, co one.

to to rozumiem tylko chodzilo mi o to czemu akurat rozbijamy ze ten pierwszy ciag to \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} }}\) ? czyli analogicznie w tym moim podpunkcie b pierwszy ciag miałby postac \(\displaystyle{ \sqrt[n]{71 ^{n} }}\)? i co najgorsze nie wiem jak policzyc granice ciagu z wyrazenia chocby \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} }}\) , bylibyście w stanie mi pomoc ?

A łopatologicznie, to jeśli dwóch policjantów zmierza do tego samego komisariatu, to złodziej idący między nimi również zmierza do tego komisariatu.

czyli analogicznie w tym moim podpunkcie b pierwszy ciag miałby postac \(\displaystyle{ \sqrt[n]{71 ^{n} }}\)?

Tak, to dość dobry wybór.

co najgorsze nie wiem jak policzyc granice ciagu z wyrazenia chocby sqrt[n]{4 ^{n} } , bylibyście w stanie mi pomoc?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4^n} = 4}\)

Shusheiri, dobre . Ja słyszałem wersję o dwóch studentach prowadzącego kolegę do akademika po całonocnej eskapadzie.

locopin pisze:to to rozumiem tylko chodzilo mi o to czemu akurat rozbijamy ze ten pierwszy ciag to \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} }}\) ? czyli analogicznie w tym moim podpunkcie b pierwszy ciag miałby postac \(\displaystyle{ \sqrt[n]{71 ^{n} }}\)?

Jeśli chcemy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, to szukamy dwóch takich ciągów, żeby pierwszy był "mniejszy" od naszego ciagu, ale miał taką samą granicę, np. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{50 ^{n} }< \sqrt[n]{50^n + 40^n}}\)Oba te ciągi mają takie same granice, ale siłą rzeczy \(\displaystyle{ 50^{n}+}\) coś dodatniego\(\displaystyle{ > 50^n}\). Trzeci ciąg musi być większy od tego naszego, ale mieć nadal tę samą granicę., np. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{50 ^{n} }< \sqrt[n]{50^n + 45^n}}\)

i co najgorsze nie wiem jak policzyc granice ciagu z wyrazenia chocby \(\displaystyle{ \sqrt[n]{4 ^{n} }}\) , bylibyście w stanie mi pomoc ?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4^n} = (4^n)^{ \frac{1}{n} } = 4}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 4 = 4}\)

Althorion pisze: Shusheiri, dobre . Ja słyszałem wersję o dwóch studentach prowadzącego kolegę do akademika po całonocnej eskapadzie.

Bardziej życiowe