Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( \sqrt{ n^{2}+6n+1 } -n\right)}\)

Dlaczego należy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ a-b = \frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}}\)?
Dlaczego nie można od razu podzielić przez \(\displaystyle{ n}\)?

Na pewno tam są dwie zmienne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ n}\)?

Przepraszam, poprawiłem.

A teraz odnośnie zadania

Nie możesz policzyć tej granicy bo odejmujesz liczby które mają podobną wielkość i ich różnica jest bardzo mała. Jeśli podzielisz przez n ta sytuacja się nie zmieni, dalej będziesz miał dwie liczby bardzo bliskie siebie w granicy.

Ten wzór pozwala zmienić różnicę na sumę, którą można łatwiej policzyć.

Ok, już rozumiem o co chodzi

Gdyby zamiast \(\displaystyle{ n}\) było np. \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), lub \(\displaystyle{ 5}\) to mógłbym od razu podzielić?

Dzielić możesz zawsze, jednak w przypadku pojawienia się różnicy bezpieczniejsze jest przedstawienie jej za pomocą sumy.

Dzielenie oczywiście może w niektórych przypadkach też dać wynik, ale jest bardziej nieprzewidywalne.