Matematyka.pl

Witam,

zrobiłem zadanko z liczb zespolonych z potęgowania proszę o sprawdzenie i jak coś to o uwagi co zrobiłem źle. Z góry dzięki i Pozdrawiam


\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{8}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} } = \sqrt{\frac{4}{4} } =1}\)




\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = -\frac{1}{2}\\sin \varphi = -\frac{ \sqrt{3} }{2}\end{cases}= \pi + \alpha _{0}= \pi + \frac{ \pi }{3}= \frac{3 \pi }{3}+ \frac{ \pi }{3} = \frac{4}{3} \pi}\)


\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{8} = \left( 1\right) ^{8} \left( \cos 8 \cdot \frac{4}{3} \pi + i\sin 8 \cdot \frac{4}{3} \pi\right)=1\left( \cos \frac{32}{3} \pi + i\sin \frac{32}{3} \pi \right) = 1\left( 1+i \cdot 0\right) = 1}\)

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{8}}\)

Gdzieś tu zjadłeś \(\displaystyle{ i}\) albo przecinek.
- zatem coś jest nie tak.

miki999 pisze:

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^{8}}\)

Gdzieś tu zjadłeś \(\displaystyle{ i}\) albo przecinek.
- zatem coś jest nie tak.

wkradła się literówka pwoinno być:

\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{8}}\)

a jaki wynik powinien wyjść? gdyż wydaję mi się ze robiłem zgodnie tak jak ze schemtaem ;p

W linku jest podane ile powinno wyjść.

Padłeś ofiarą nieznajomości funkcji trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ \left( \cos \frac{32}{3} \pi + i\sin \frac{32}{3} \pi \right) \neq \left( 1+i \cdot 0\right)}\)


Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ z = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

\(\displaystyle{ \left| z \right| = 1}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a}{\left| z \right| } = - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{b}{\left| z \right| } = - \sqrt{3} }{2}}\)

Teraz szukamy jaki to będzie kąt. 3 ćwiartka układu współrzędnych, ponieważ cos i sin są ujemne. Kąt szukany to 240 stopni czyli \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi}\)

Teraz potęgujemy całą liczbę:

\(\displaystyle{ z^8 = \left|1 \right|^8 \cdot (cos (8 \cdot \frac{4}{3} \pi) + j sin (8\cdot \frac{4}{3} \pi) )}\)