Matematyka.pl

1. Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zdefiniowany \(\displaystyle{ x_1=1,x_{n+1}=\frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}}\). Pokaż ze \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } (x_n^2-n)=\frac{1}{2}.}\)

2. Niech \(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}a_{0}>0 &\\ a_{n+1}=a_{n}-e^{\frac{-1}{a_{n}^{2}}}&\end{matrix}\right.}\). Pokaż ze \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }a_n^2\ln(n)=1}\).

3. Niech \(\displaystyle{ x_1=1,x_{2k}=-x_k}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2k+1}=(-1)^{k+1} \cdot x_k}\). Pokaż ze \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n \ge 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ n \in \NN.}\)

Co do zadania 1 cała zabawa polega na dwóch nierównościach:

(wszystko dla n>1)

pierwsza nierówność:

\(\displaystyle{ x_{n}^{2} \ge n+ \frac{1}{2}}\)

można wykazać indukcyjnie, natomiast druga nierówność:

\(\displaystyle{ x_{n}^{2} \le t_{n}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ t_{n}= \frac{1}{2}n^{3}- \frac{1}{4}n^{2}- \frac{1}{2}n^{2} \sqrt{n^{2}-n- \frac{15}{4} }}\)

też da się wykazać

natomiast:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }(t_{n}-n) = \frac{1}{2}}\) (łatwo wykazać - poziom gimnazjum)

i z twierdzenia o trzech ciągach mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le x_{n}^{2}-n \le (t_{n}-n) -> \frac{1}{2}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }(x_{n}^{2}-n)= \frac{1}{2}}\)

cnd...