Dowód na twierdzenie pierwiastka liczby zespolonej
: 13 paź 2012, o 14:32
Witajcie!
Mam problem z wyprowadzeniem dowodu na jedno twierdzenie. Być może jest to moja wina (możliwe, że nie przepisałem dobrze wzoru na wykładzie), ale męczę się z tym od paru godzin i nie mogę go dokończyć. Mianowicie:
"\(\displaystyle{ z=a+bi \neq 0}\) ma dwa różne pierwiastki st. 2 określone wzorami:
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = \begin{cases} \pm \sqrt{a} , b=0 , a \ge 0 \\ \pm \sqrt{-a} , b=0 , a < 0 \end{cases}}\)"
A następnie mam wzór dla \(\displaystyle{ b \neq 0}\) :
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = ( \pm \sqrt{ \frac{a+\left|z\right| }{2} } + isgn(b) \sqrt{ \frac{-a+\left|z\right| }{2} })}\)
Z 2. wzoru muszę dać dowód na prawdziwość tego twierdzenia. Podstawiłem tam postać trygonometryczną, ale nie jestem pewien, czy zrobiłem dobrze...
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{\left|z\right| } (cos \frac{ \alpha +2 \pi }{2} + isin \frac{ \alpha +2 \pi }{2} )\right] = ( \pm \sqrt{ \frac{a+\left|z\right| }{2} } + isgn(b) \sqrt{ \frac{-a+\left|z\right| }{2} })}\)
podniosłem wszystko do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left|z\right| (cos \alpha + isin \alpha ) = \frac{a+\left|z\right| }{2} + \frac{-a+\left|z\right| }{2}}\)
No właśnie... Teraz pytanie, czy ja aby na pewno dobrze podniosłem to wszystko do potęgi drugiej. Bo z tego teoretycznie wychodzi:
\(\displaystyle{ 2\left|z\right| (2cos \alpha + 2isin \alpha ) = 2 \left|z\right|}\)
Więc wyszło, że po podzieleniu przez 2 wyrażenie \(\displaystyle{ cos \alpha + isin \alpha = 1}\)
Czy to aby na pewno możliwe? Poprawcie mnie, jeśli gdzieś popełniłem błąd. Będę bardzo wdzięczny za każdą pomoc.
Mam problem z wyprowadzeniem dowodu na jedno twierdzenie. Być może jest to moja wina (możliwe, że nie przepisałem dobrze wzoru na wykładzie), ale męczę się z tym od paru godzin i nie mogę go dokończyć. Mianowicie:
"\(\displaystyle{ z=a+bi \neq 0}\) ma dwa różne pierwiastki st. 2 określone wzorami:
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = \begin{cases} \pm \sqrt{a} , b=0 , a \ge 0 \\ \pm \sqrt{-a} , b=0 , a < 0 \end{cases}}\)"
A następnie mam wzór dla \(\displaystyle{ b \neq 0}\) :
\(\displaystyle{ \sqrt{z} = ( \pm \sqrt{ \frac{a+\left|z\right| }{2} } + isgn(b) \sqrt{ \frac{-a+\left|z\right| }{2} })}\)
Z 2. wzoru muszę dać dowód na prawdziwość tego twierdzenia. Podstawiłem tam postać trygonometryczną, ale nie jestem pewien, czy zrobiłem dobrze...
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{\left|z\right| } (cos \frac{ \alpha +2 \pi }{2} + isin \frac{ \alpha +2 \pi }{2} )\right] = ( \pm \sqrt{ \frac{a+\left|z\right| }{2} } + isgn(b) \sqrt{ \frac{-a+\left|z\right| }{2} })}\)
podniosłem wszystko do kwadratu:
\(\displaystyle{ \left|z\right| (cos \alpha + isin \alpha ) = \frac{a+\left|z\right| }{2} + \frac{-a+\left|z\right| }{2}}\)
No właśnie... Teraz pytanie, czy ja aby na pewno dobrze podniosłem to wszystko do potęgi drugiej. Bo z tego teoretycznie wychodzi:
\(\displaystyle{ 2\left|z\right| (2cos \alpha + 2isin \alpha ) = 2 \left|z\right|}\)
Więc wyszło, że po podzieleniu przez 2 wyrażenie \(\displaystyle{ cos \alpha + isin \alpha = 1}\)
Czy to aby na pewno możliwe? Poprawcie mnie, jeśli gdzieś popełniłem błąd. Będę bardzo wdzięczny za każdą pomoc.