Ciało liczb algebraicznych

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8602
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1807 razy

Ciało liczb algebraicznych

Post autor: Dasio11 » 13 paź 2012, o 07:54

W niniejszym artykule przedstawimy dowód faktu, że liczby algebraiczne tworzą ciało, jawnie konstruując odpowiednie wielomiany. Bez dowodu przyjmiemy Zasadnicze twierdzenie algebry.
Konstrukcja wielomianów opiera się na jednym, kluczowym lemacie, dowiódłszy którego będziemy mogli natychmiast pokazać, że suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb algebraicznych jest liczbą algebraiczną.
W artykule obowiązuje zapis \(\displaystyle{ \mathbb N = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots \}.}\)



Definicja 1.
Liczbę zespoloną \(\displaystyle{ \alpha}\) nazwiemy liczbą algebraiczną, gdy jest ona pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych, tj. gdy istnieją takie \(\displaystyle{ n \in \mathbb N \setminus \{ 0 \}}\) oraz \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb Z,}\) że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) oraz

\(\displaystyle{ a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + a_{n-2} \alpha^{n-2} + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0.}\)

Najmniejszą liczbę \(\displaystyle{ n \in \mathbb N \setminus \{ 0 \},}\) dla której istnieją takie liczby \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n,}\) nazywamy stopniem liczby algebraicznej \(\displaystyle{ \alpha}\).

Uwaga. Jeśli dla pewnych \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb Q}\) mamy \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) oraz

\(\displaystyle{ a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + a_{n-2} \alpha^{n-2} + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0,}\)

to mnożąc lewą stronę powyższej równości przez wspólny mianownik wszystkich współczynników, otrzymamy niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych, którego \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pierwiastkiem. Dlatego będziemy, jako wygodniejszą, stosować równoważną definicję:
Liczba zespolona \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą algebraiczną, gdy istnieją takie \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \{ 0 \}}\) oraz \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb Q,}\) że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) oraz

\(\displaystyle{ a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + a_{n-2} \alpha^{n-2} + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0.}\)



Definicja 2.
Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>0}\) wielomian \(\displaystyle{ n}\) zmiennych zespolonych

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)

nazwiemy wielomianem symetrycznym, gdy dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right) \equiv P \left( z_{\sigma(1)}, z_{\sigma(2)}, z_{\sigma(3)}, \ldots, z_{\sigma(n)} \right).}\)


Przykłady.

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ P(x, y)=x^2 y + x y^2}\) jest wielomianem symetrycznym, bo \(\displaystyle{ P(x, y) \equiv P(y, x).}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ P(x, y, z) = x+y+z+xyz}\) jest wielomianem symetrycznym bo

\(\displaystyle{ P(x, y, z) \equiv P(x, z, y) \equiv P(y, x, z) \equiv P(y, z, x) \equiv P(z, x, y) \equiv P(z, y, x).}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Każdy wielomian jednej zmiennej jest symetryczny, bo jedyna permutacja zbioru \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) jest identycznością.



Lemat 1.
Jeśli \(\displaystyle{ P}\) jest wielomianem symetrycznym \(\displaystyle{ n}\) zmiennych

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right) \equiv \sum_{0 \le p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \le m} a_{\mathbf{p}} \cdot z_1^{p_1} z_2^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right),}\) to współczynniki przy symetrycznych składnikach są równe, tzn. dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \in \{ 0, 1, 2, 3, \ldots, m \}}\) i dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p_{\sigma}},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbf p_{\sigma} = \left( p_{\sigma(1)}, p_{\sigma(2)}, p_{\sigma(3)}, \ldots, p_{\sigma(n)} \right).}\) Na przykład, jeśli wielomian

\(\displaystyle{ P(x, y, z) = axy + byz + czx}\)

jest symetryczny, to \(\displaystyle{ a=b=c.}\)


Dowód. Weźmy dowolne \(\displaystyle{ \mathbf p = \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) oraz dowolną permutację \(\displaystyle{ \sigma}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}.}\)
Liczba \(\displaystyle{ a_{\mathbf p}}\) jest współczynnikiem wielomianu

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)

przy jednomianie \(\displaystyle{ z_1^{p_1} z_2^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n},}\) a liczba \(\displaystyle{ a_{\mathbf p_{\sigma}}\) jest współczynnikiem wielomianu

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)

przy jednomianie \(\displaystyle{ z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}},}\) a zatem \(\displaystyle{ a_{\mathbf p_{\sigma}}\) jest również współczynnikiem

\(\displaystyle{ P \left( z_{\sigma(1)}, z_{\sigma(2)}, z_{\sigma(3)}, \ldots, z_{\sigma(n)} \right)}\)

przy jednomianie \(\displaystyle{ z_{\sigma(1)}^{p_{\sigma(1)}} z_{\sigma(2)}^{p_{\sigma(2)}} z_{\sigma(3)}^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_{\sigma(n)}^{p_{\sigma(n)}}.}\) Ostatni jednomian jest jednomianem \(\displaystyle{ z_1^{p_1} z_1^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n}}\) z pomieszanym porządkiem czynników, a skoro

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right) \equiv P \left( z_{\sigma(1)}, z_{\sigma(2)}, z_{\sigma(3)}, \ldots, z_{\sigma(n)} \right),}\)

to współczynniki tych wielomianów przy jednomianie \(\displaystyle{ z_1^{p_1} z_2^{p_2} z_3^{p_3} \cdots z_n^{p_n}}\) muszą być równe, tj. \(\displaystyle{ a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p_{\sigma}}. \ \blacktriangledown}\)



Definicja 3.
Wielomiany symetryczne podstawowe \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n,}\) to takie wielomiany \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3, \ldots, S_n,}\) że spełniona jest tożsamość

\(\displaystyle{ \left(z+z_1 \right) \left(z+z_2 \right) \left(z+z_3 \right) \cdots \left(z+z_n \right) \equiv z^n + S_{1} z^{n-1} + S_{2} z^{n-2} + \ldots + S_{n-1} z + S_n.}\)

Naturalnie, wielomiany symetryczne podstawowe są wielomianami symetrycznymi. Na przykład, dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy

\(\displaystyle{ S_1(x, y, z)= x+y+z\\ S_2(x, y, z)= xy+yz+xz \\ S_3(x, y, z)= xyz.}\)



Lemat 2.
Każdy wielomian symetryczny o współczynnikach całkowitych można zapisać jako sumę oraz iloczyn wielomianów symetrycznych podstawowych i liczb całkowitych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ P}\) o całkowitych współczynnikach istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ Q}\) o całkowitych współczynnikach, że

\(\displaystyle{ P( \mathbf z ) \equiv Q \left( S_1( \mathbf z), S_2( \mathbf z), S_3( \mathbf z), \ldots, S_n( \mathbf z) \right),}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbf z = \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right).}\)

Uwaga. Zastępując w tezie lematu 2 przymiotnik "całkowity" przymiotnikiem "wymierny", otrzymamy prawdziwe zdanie, którego dowód przebiega analogicznie. Dotyczy to także lematu 3. Tylko wersję wymierną wykorzystamy w dowodzie twierdzenia, lecz uznaje się za ogólnie pożyteczne zagwarantować prawdziwość również wersji całkowitej.

Dowód. Niech \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN}\) będzie taką funkcją rosnącą na zbiorze \(\displaystyle{ \NN \setminus \{0 \},}\) że \(\displaystyle{ f(0)=f(1)=0.}\)

Taką funkcją jest np.

\(\displaystyle{ f(m)=\begin{cases} 0 &\text{dla } m=0 \\ m-1 & \text{dla } m \neq 0 \end{cases},}\)

lecz nie jest istotne, którą z takich funkcji wybierzemy.
Dla ciągu liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) rozważmy wielomian symetryczny

\(\displaystyle{ \sum_{\sigma \in S} z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}},}\)

gdzie \(\displaystyle{ S}\) oznacza zbiór permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, \ldots, n \}.}\) Jest on sumą jednomianów, przy których, na mocy lematu 1, stoi ten sam naturalny współczynnik \(\displaystyle{ a.}\) Wyrażeniem generowanym przez ciąg \(\displaystyle{ \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) nazwiemy wielomian

\(\displaystyle{ G \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right) \equiv \frac{1}{a} \sum_{\sigma \in S} z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}}.}\)

Formalnie, argumentami \(\displaystyle{ G}\) powinny być też liczby \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n,}\) lecz dla skrócenia zapisu będziemy je pomijać. Zauważmy, że kolejność liczb \(\displaystyle{ p_j}\) w ciągu nie wpływa na wyrażenie przez ten ciąg generowane.
O takim wyrażeniu możemy myśleć jako o symetrycznym układzie kostek \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowych umieszczonych w nieskończonej tablicy \(\displaystyle{ n-}\)wymiarowej, przy czym kostka o współrzędnych \(\displaystyle{ \mathbf q = \left( q_1, q_2, q_3, \ldots, q_n \right)}\) znajdzie się w układzie wtedy i tylko wtedy, gdy jednym ze składników \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) jest jednomian \(\displaystyle{ z_1^{q_1} z_2^{q_2} z_3^{q_3} \cdots z_n^{q_n},}\) tj. gdy \(\displaystyle{ \mathbf q = \mathbf p_{\sigma}}\) dla pewnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma: \{1, 2, 3, \ldots, n \} \to \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}.}\)
Przykład:    
Niech \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \{ 0 \}}\) i weźmy dowolny wielomian symetryczny \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ P}\) o całkowitych współczynnikach. Na mocy lematu 1, \(\displaystyle{ P}\) jest sumą całkowitych wielokrotności wyrażeń generowanych przez pewne ciągi liczb naturalnych. Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego \(\displaystyle{ m \in \NN}\) w szukanej postaci można przedstawić każde wyrażenie generowane przez taki ciąg \(\displaystyle{ \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right),}\) że \(\displaystyle{ f \left( p_1 \right) + f \left( p_2 \right) + f \left( p_3 \right) + \ldots + f \left( p_n \right) = m.}\) Łącząc te przedstawienia dla wszystkich wyrażeń, które składają się na \(\displaystyle{ P,}\) otrzymamy przedstawienie \(\displaystyle{ P}\) w szukanej postaci.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla \(\displaystyle{ m=0:}\) Wszystkie ciągi \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right),}\) takie że

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n f \left( p_j \right) = 0,}\)

to ciągi samych zer i jedynek, które generują wyłącznie wyrażenia \(\displaystyle{ S_j}\) oraz liczbę \(\displaystyle{ 1.}\) Dokładniej,

\(\displaystyle{ G( \underbrace{0, 0, 0, \ldots, 0}_{n \text{ zer}}) = 1 \\ G( \underbrace{1, 1, 1, \ldots, 1}_{j \text{ jedynek}}, \underbrace{0, 0, \ldots, 0}_{n-j \text{ zer}} ) = S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right).}\)

Teza jest więc spełniona.


\(\displaystyle{ \bullet}\) Ustalmy \(\displaystyle{ m \ge 1}\) i załóżmy, że dla każdego \(\displaystyle{ k<m}\) każdy ciąg \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) spełniający

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n f \left( p_j \right) = k}\)

ma tę własność, że wyrażenie generowane przez \(\displaystyle{ \mathbf p}\) można przedstawić za pomocą sumy i iloczynu wielomianów \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3, \ldots, S_n}\) oraz liczb całkowitych. Pokażemy, że własność tę mają również ciągi \(\displaystyle{ \mathbf p,}\) dla których

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n f \left( p_j \right)=m.}\)

Weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ \mathbf p = \left(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right)}\) spełniający powyższą równość. Ponieważ kolejność jego wyrazów nie wpływa na wyrażenie przezeń generowane, możemy założyć, że \(\displaystyle{ j}\) pierwszych wyrazów jest niezerowych, a następne \(\displaystyle{ n-j}\) są zerami, dla pewnego \(\displaystyle{ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n \}.}\) Na mocy założenia indukcyjnego, potrafimy skonstruować wyrażenie generowane przez ciąg

\(\displaystyle{ \mathbf p^- =\left( p_1 - 1, p_2 - 1, p_3 - 1, \ldots, p_j - 1, p_{j+1}, p_{j+2}, \ldots, p_n \right) = \left( p^-_1, p^-_2, p^-_3, \ldots, p^-_n \right),}\)

ponieważ co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_j,}\) chwilowo nazwijmy ją \(\displaystyle{ p_i,}\) spełnia \(\displaystyle{ p_i \ge 2,}\) co daje \(\displaystyle{ f \left( p_i-1 \right) < f \left( p_i \right).}\) Stąd

\(\displaystyle{ {f \left( p_1 - 1 \right) + f \left( p_2 - 1 \right) + f \left( p_3 - 1 \right) + \ldots + f \left( p_j - 1 \right) + f \left( p_{j+1} \right) + f \left(p_{j+2} \right) + \ldots + f \left( p_n \right)} < \\ < \sum_{i=1}^n f \left( p_i \right) = m.}\)

Rozważmy wyrażenie

\(\displaystyle{ V=G( \mathbf p^- ) \cdot S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right).}\)

Jest ono wielomianem symetrycznym o całkowitych współczynnikach, zatem (na mocy lematu 1) jest sumą całkowitych wielokrotności wyrażeń generowanych przez pewne ciągi. Dodatkowo, jeśli \(\displaystyle{ \mathbf q}\) jest jednym z takich ciągów, to z dokładnością do kolejności współrzędnych mamy

\(\displaystyle{ \mathbf q = \left( p^-_1 + \chi_A(1), p^-_2 + \chi_A(2), p^-_3 + \chi_A(3), \ldots, p^-_n + \chi_A(n) \right) = \left( q_1, q_2, q_3, \ldots, q_n \right)}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ j-}\)elementowego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \{ 1, 2, 3, \ldots, n \},}\) gdzie \(\displaystyle{ \chi_A}\) oznacza funkcję charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ A.}\) Wówczas zachodzi jedna z dwóch możliwości:

\(\displaystyle{ \mathrm{I} \phantom{\mathrm{I}}:}\) \(\displaystyle{ k \in A}\) dla wszystkich takich \(\displaystyle{ k,}\) że \(\displaystyle{ p^-_k > 0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf q = \mathbf p_{\sigma}}\) dla pewnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma: \{1, 2, 3, \ldots, n \} \to \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}.}\)
\(\displaystyle{ \mathrm{II}:}\) Istnieje takie \(\displaystyle{ k \notin A,}\) że \(\displaystyle{ p^-_k > 0,}\) co daje też \(\displaystyle{ k \le j.}\) Wtedy na pierwszych \(\displaystyle{ j}\) pozycjach ciągu \(\displaystyle{ \mathbf q}\) mamy liczby nie większe niż odpowiednie współrzędne w ciągu \(\displaystyle{ \mathbf p,}\) przy czym co najmniej na współrzędnej \(\displaystyle{ k}\) zachodzi ostra mniejszość oraz

\(\displaystyle{ 1 \le p^-_k = p_k-1,}\) a więc \(\displaystyle{ f \left(q_k \right) = f \left( p_k -1 \right) < f \left(p_k \right).}\)

Z kolei na pozostałych \(\displaystyle{ n-j}\) pozycjach ciągu \(\displaystyle{ \mathbf q}\) stoją zera i jedynki. Stąd

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n f \left( q_i \right) = \sum_{i=1}^j f \left( q_i \right) < \sum_{i=1}^j f \left( p_i \right) = \sum_{i=1}^n f \left( p_i \right) = m.}\)

Co więcej, po redukcji wyrażeń podobnych, wyrażenie \(\displaystyle{ G ( \mathbf p )}\) występuje w \(\displaystyle{ V}\) ze współczynnikiem \(\displaystyle{ 1,}\) bo dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma: \{1, 2, 3, \ldots, n \} \to \{ 1, 2, 3, \ldots, n \}}\) jednomian

\(\displaystyle{ z_1^{p_{\sigma(1)}} z_2^{p_{\sigma(2)}} z_3^{p_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p_{\sigma(n)}}}\)

może, jako składnik, powstać z iloczynu

\(\displaystyle{ G( \mathbf p^- ) \cdot S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_n \right)}\)

tylko na jeden sposób: przez dobranie z lewego czynnika jednomianu

\(\displaystyle{ z_1^{p^-_{\sigma(1)}} z_2^{p^-_{\sigma(2)}} z_3^{p^-_{\sigma(3)}} \cdots z_n^{p^-_{\sigma(n)}}}\)

a z prawego - jednomianu, który ma jedynki w potędze przy \(\displaystyle{ i-}\)tej zmiennej dla takich i tylko takich \(\displaystyle{ i,}\) dla których

\(\displaystyle{ p^-_{\sigma(i)} = p_{\sigma(i)} - 1,}\)

tj. dla \(\displaystyle{ i= \sigma^{-1}(1), \sigma^{-1}(2), \sigma^{-1}(3), \ldots, \sigma^{-1}(j).}\)


Pokazaliśmy zatem, że \(\displaystyle{ V}\) jest sumą \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) ze współczynnikiem jeden oraz całkowitych wielokrotności wyrażeń generowanych przez ciągi \(\displaystyle{ \mathbf q,}\) dla których

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n f \left( q_i \right) < m.}\)

Przenosząc \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) na jedną stronę i całą resztę na drugą, otrzymujemy równość postaci

\(\displaystyle{ G( \mathbf p ) \equiv V - \sum_{\mathbf q} a_{\mathbf q} G ( \mathbf q ),}\)

tzn. przedstawienie \(\displaystyle{ G( \mathbf p )}\) w postaci sumy całkowitych wielokrotności wyrażeń, z których każde (na mocy założenia indukcyjnego) potrafimy przedstawić w szukanej postaci wielomianu

\(\displaystyle{ Q \left( S_1 ( \mathbf z ), S_2 ( \mathbf z ), S_3 ( \mathbf z ), \ldots, S_n ( \mathbf z ) \right).}\)

Krok indukcyjny jest więc dowiedziony, co kończy też dowód lematu. \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)



Lemat 3.
Załóżmy, że dla ciągu liczb zespolonych \(\displaystyle{ \mathbf a =\left( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m \right)}\) wielomian

\(\displaystyle{ \left( z-a_1 \right) \left( z-a_2 \right) \left( z-a_3 \right) \cdots \left( z-a_m \right)}\)

ma współczynniki całkowite. Załóżmy też, że wielomian \(\displaystyle{ m+n+1}\) zmiennych

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\)

ma współczynniki całkowite oraz jest symetryczny względem zestawu zmiennych \(\displaystyle{ \left(z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right),}\) tzn. dla każdego ustalonego ciągu liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left( z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\) wielomian

\(\displaystyle{ R \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right) \equiv P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\)

jest wielomianem symetrycznym zmiennych \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m.}\)

Wówczas wielomian \(\displaystyle{ n+1}\) zmiennych

\(\displaystyle{ Q \left(z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv P \left( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right)}\)

ma współczynniki całkowite.


Dowód. Na mocy założenia, wszystkie z liczb

\(\displaystyle{ S_1 ( \mathbf a ), S_2 ( \mathbf a ), S_3 ( \mathbf a ), \ldots, S_n ( \mathbf a )}\)

są całkowite. Przedstawmy \(\displaystyle{ P}\) w postaci

\(\displaystyle{ P \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv \sum_{\mathbf p} W_{\mathbf p} \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right) \cdot z^{p_0} \cdot \zeta_1^{p_1} \zeta_2^{p_2} \zeta_3^{p_3} \cdots \zeta_n^{p_n},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbf p =\left(p_0, p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n \right).}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ \mathbf p}\) wielomian \(\displaystyle{ W_{\mathbf p}}\) jest symetryczny i ma całkowite współczynniki, a zatem, na mocy lematu 2, jest sumą i iloczynem całkowitych wielokrotności wielomianów \(\displaystyle{ S_j \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m \right)}\) oraz liczb całkowitych. Ponieważ dla \(\displaystyle{ j=1, 2, 3, \ldots, m}\) liczby \(\displaystyle{ S_j \left(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m \right)}\) są całkowite, to dla każdego \(\displaystyle{ \mathbf p = \left( p_0, p_1, p_2, \ldots, p_n \right)}\) liczba

\(\displaystyle{ a_{\mathbf p} = W_{\mathbf p} \left( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m \right)}\)

jest całkowita, a więc

\(\displaystyle{ Q \left(z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv \sum_{\mathbf p} a_{\mathbf p} \cdot z^{p_0} \cdot \zeta_1^{p_1} \zeta_2^{p_2} \zeta_3^{p_3} \cdots \zeta_n^{p_n}}\)

ma współczynniki całkowite. \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)




Twierdzenie.
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą liczbami algebraicznymi stopnia \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) odpowiednio.
Wtedy

(a) \(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą algebraiczną,
(b) \(\displaystyle{ a-b}\) jest liczbą algebraiczną,
(c) \(\displaystyle{ a \cdot b}\) jest liczbą algebraiczną,
(d) Jeśli \(\displaystyle{ b \neq 0,}\) to \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) jest liczbą algebraiczną.

Ponadto, stopień liczb \(\displaystyle{ a+b, \ a-b, \ ab, \ \frac{a}{b}}\) jest nie większy niż \(\displaystyle{ m \cdot n.}\)

Dowód. Istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych: \(\displaystyle{ P}\) stopnia \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ Q}\) stopnia \(\displaystyle{ n,}\) takie że

\(\displaystyle{ P(a)=Q(b)=0.}\)

Na mocy Zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma \(\displaystyle{ m}\) pierwiastków \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m,}\) a wielomian \(\displaystyle{ Q}\) ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków \(\displaystyle{ b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n.}\) Nie jest istotne, czy któryś pierwiastek jest wielokrotny. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a=a_1, \ b=b_1.}\)
Wielomiany

\(\displaystyle{ P(z) \equiv A \left(z-a_1 \right) \left(z-a_2 \right) \left(z-a_3 \right) \cdots \left(z-a_m \right) \\ Q(z) \equiv B \left(z-b_1 \right) \left(z-b_2 \right) \left(z-b_3 \right) \cdots \left(z-b_n \right)}\)

mają całkowite współczynniki. W szczególności, \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są całkowite jako współczynniki przy najwyższych potęgach, a więc wielomiany

\(\displaystyle{ \frac{1}{A} P(z) \equiv \left(z-a_1 \right) \left(z-a_2 \right) \left(z-a_3 \right) \cdots \left(z-a_m \right) \\ \\ \frac{1}{B} Q(z) \equiv \left(z-b_1 \right) \left(z-b_2 \right) \left(z-b_3 \right) \cdots \left(z-b_n \right)}\)

mają wymierne współczynniki.
(a) Niech

\(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + b_j \right) \right).}\)

Stosując lemat 3 do ciągu

\(\displaystyle{ \mathbf a=a_1, a_2, a_3, \ldots, a_m}\)

oraz wielomianu \(\displaystyle{ m+n+1}\) zmiennych

\(\displaystyle{ V \left( z_1, z_2, z_3, \ldots, z_m, z, \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n \right) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( z_i + \zeta_j \right) \right),}\)

otrzymujemy, że wielomian \(\displaystyle{ n+1}\) zmiennych

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + \zeta_j \right) \right)}\)

ma współczynniki wymierne (patrz uwaga do lematu 2). Ponownie stosując lemat 3 do ciągu

\(\displaystyle{ \mathbf b=b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n}\)

oraz wielomianu \(\displaystyle{ n+0+1}\) zmiennych

\(\displaystyle{ V \left( \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots, \zeta_n, z \right) = \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + \zeta_j \right) \right)}\)

otrzymujemy, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jednej zmiennej

\(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i + b_j \right) \right)}\)

ma współczynniki wymierne. Ponadto

\(\displaystyle{ W(a+b) = W \left( a_1+b_1 \right) = 0,}\)

co kończy dowód części (a).


Podobnie postępujemy dla wielomianów

(b) \(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i - b_j \right) \right),}\)

(c) \(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( z- \left( a_i \cdot b_j \right) \right),}\)

(d) \(\displaystyle{ W(z) \equiv \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \left( b_j \cdot z- a_i \right);}\)

by pokazać, że mają współczynniki całkowite i ich pierwiastkami są odpowiednio liczby \(\displaystyle{ a-b, \ a \cdot b, \ \frac{a}{b}.}\) Ponadto, wszystkie te wielomiany mają stopień \(\displaystyle{ m \cdot n,}\) co kończy dowód. \(\displaystyle{ \blacktriangledown}\)





Na zakończenie skonstruujemy wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}.}\) Mamy

\(\displaystyle{ a_1=\sqrt{2}, \ a_2 = -\sqrt{2} \\ \\ b_1 = \sqrt[3]{3}, b_2 = \sqrt[3]{3} \cdot \frac{-1+ \mathrm i \sqrt{3}}{2}, \ b_3 = \sqrt[3]{3} \cdot \frac{-1- \mathrm i \sqrt{3}}{2}, \\ \\ \\ P(z) = \left( z- a_1 \right) \left( z-a_2 \right) = z^2-2 \\ \\ Q(z) = \left(z-b_1 \right) \left(z-b_2 \right) \left(z-b_3 \right) = z^3 - 3.}\)

Liczymy

\(\displaystyle{ \left( z- \left( a_i + b_1 \right) \right) \left( z- \left( a_i + b_2 \right) \right) \left( z- \left( a_i + b_3 \right) \right) = Q \left( z-a_i \right) = \left( z-a_i \right)^3-3.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ W(z) = \prod_{i=1}^2 \prod_{j=1}^3 \left( z- \left( a_i + b_j \right) \right) = \left( \left( z-a_1 \right)^3-3 \right) \left( \left( z-a_2 \right)^3-3 \right) = \left( \left( z-a_1 \right) \left(z-a_2 \right) \right)^3 - 3 \left( \left( z-a_1 \right)^3 + \left(z-a_2 \right)^3 \right) + 9 = \left( z^2-2 \right)^3 - 3 \left(2z^3 - 3 \left(a_1+a_2 \right)z^2 + 3 \left(a_1^2 + a_2^2 \right)z - \left(a_1^3+a_2^3 \right) \right)+9 = z^6-6z^4+12z^2-8 -6z^3-36z+9 = z^6-6z^4-6z^3+12z^2-36z+1.}\)



Mile widziane pytania i uwagi na PW, zarówno dotyczące błędów lub sugestii merytorycznych, jak również pomysłów w kwestii krótszego i jaśniejszego zapisu poszczególnych części artykułu. Zdaję sobie bowiem sprawę, że w niektórych miejscach mogłem wprowadzić nadmiar literek i zagmatwać przez to myśli, które da się wyrazić prościej.

ODPOWIEDZ