Matematyka.pl

Witam. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak się za to zabrać, jak zrobić to najprościej?

Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
1) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \arccos 2x + \arcsin \left( 1-2x \right)}\)

2) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \arcsin \sqrt{x}}\)

3) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \arccos 2^{x}}\)

4) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \arctan x^{2} + \arcsin \left( \frac{x+1}{x-1} \right)}\)

Jeżeli to możliwe to proszę o jakieś proste wytłumaczenie, chociaż na jednym z przykładów -z tego co wiem prowadzący bardzo życzy sobie wzorów redukcyjnych i z góry bardzo dziękuję:)

Dziedziną tych funkcji jest zbiór wartości odpowiadających im funkcji odwrotnych.

Wszystko super, a mógłbyś powiedzieć dokładniej?
Chodzi mi o to, że ok, zbiór wartości dla \(\displaystyle{ \arccos}\) będzie przedział \(\displaystyle{ \left\langle 0, \pi \right\rangle}\) ale co z tym \(\displaystyle{ 2x}\), może i głupie pytania zadaje, ale po to pytam, aby ZOBACZYĆ, jak...

Ty masz wyznaczyć dziedzinę a nie zbiór wartości. Dziedziną \(\displaystyle{ \arccos 2x}\) jest \(\displaystyle{ \left[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]}\)

1.

Dziedzina to zbiór wartości argumentu czyli \(\displaystyle{ x}\), dla których dana funkcja jest określona.
Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ \arccos}\) jest zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos}\), czyli
\(\displaystyle{ -1 \le 2x \le 1\ \ \ \to\ \ \ -\frac12 \le x \le \frac12\ \ \to\ \ x\in\left\langle-\frac12,\ \frac12\right\rangle}\)
podobnie z funkcją \(\displaystyle{ \arcsin}\)
\(\displaystyle{ -1 \le 1-2x \le 1\ \ \ \to\ \ \ -2 \le -2x \le 0\ \ \ \to\ \ \ 1 \ge x \ge 0\ \ \to\ \ x\in\langle0,\ 1\rangle}\)

łącząc oba przedziały otrzymujemy dziedzinę \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\)
\(\displaystyle{ x\in\left\langle0,\ \frac12\right\rangle}\)

Dziękuję, teraz chociaż wiem skąd się to wzięło:) Zaraz spróbuję zrobić pozostałe. Jeszcze raz dzięki!