Matematyka.pl

Podpowiedziałby mi ktoś jakiś argument przemawiający za tym, że \(\displaystyle{ 9^{x}}\) , \(\displaystyle{ x>1}\) jest całkowite, nie może być liczbą składającą się z samych \(\displaystyle{ 9}\)

Wówczas w szczególności 2 ostatnie cyfry byłyby 9, więc \(\displaystyle{ 9^x \equiv 99\pmod{100} \Rightarrow 9^x \equiv 99 \pmod{4} \iff 1 \equiv -1 \pmod{4}}\) sprzeczność.

Słuchaj a mógłbyś mi objaśnić słownie?

Vax pisze:Wówczas w szczególności 2 ostatnie cyfry byłyby 9, więc \(\displaystyle{ 9^x \equiv 99\pmod{100} \Rightarrow 9^x \equiv 99 \pmod{4} \iff 1 \equiv -1 \pmod{4}}\) sprzeczność.

to jest na pewno dobrze?

Może tak, gdyby \(\displaystyle{ 9^x}\) składałoby się z samych \(\displaystyle{ 9}\), to by było podzielne przez liczbę postaci \(\displaystyle{ \underbrace{11\ldots11}_{9n}}\), co jest sprzeczne z rozkładem tej liczby na czynniki pierwsze (taka liczba dzieliłaby się przez \(\displaystyle{ 37}\)).

111111111 dzieli sie przez 9 więc o co chodzi? Chyba czegoś nie czaje

Ale dzieli się też przez \(\displaystyle{ 111}\), więc przez \(\displaystyle{ 37}\) i w związku z tym nie może być potęgą liczby \(\displaystyle{ 9}\). Potęgi liczby \(\displaystyle{ 9}\) mają w rozkładzie na czynniki pierwsze same trójki.

sprytnie, dzięki wam za pomoc