Matematyka.pl

1) Niech \(\displaystyle{ A=\bigcup_{n \in \NN} A_{n}}\).
Oznaczamy \(\displaystyle{ a_{n}=\sup A_{n} .}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ \sup A=\sup\left\{ a_{n} \right\}}\).


Pomóżcie!

Czy kres górny definiujesz jako liczbę rzeczywistą, czy może być \(\displaystyle{ +\infty?}\) Bo jeśli to liczba rzeczywista, to teza nie zachodzi. Np. dla \(\displaystyle{ A_n=\{n\}.}\) Ewentualnie należałoby założyć, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem ograniczonym.

Najpierw należałoby napisać, czym są \(\displaystyle{ A_n}\)...

JK

Owszem Ale chyba domyślnie - w \(\displaystyle{ \RR}\). Nie dopatrzałem. Na kratach czy posetach chyba tego nie robią.

duże A znaczy zbiór.
myślę, ze nierówność w jedną stronę mamy z definicji sumy aw drugą z definicji sup więc równość.
tylko trzeba to zapisać ( więc?)

Skoro \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór, to weźmy \(\displaystyle{ A_n=A=\{\text{magister, doktor, doktor habilitowany, profesor}\}.}\) Jakie jest tu supremum?

no i?

Odniosłem się do uwagi Jana Kraszewskiego. Widać, że była słuszna.

prowadzący nic więcej nie zdefiniował.ponoc mozna sie tego domyslec...

Ale na zajęciach musiał być jakiś kontekst. Poza tym z mojego pierwszego posta wynika, że coś jednak trzeba założyć i przemyśleć definicję kresu nawet jeśli okażę się domyślny i założę, że chodzi o podzbiory \(\displaystyle{ \RR.}\)

Załóż więc, że \(\displaystyle{ A\subset\R}\) (suma rodziny) jest zbiorem ograniczonym z góry, a co za tym idzie, \(\displaystyle{ A_n}\) są także ograniczone z góry. Sama ograniczoność zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) nie wystarczy, bo podałem przykład. Suma też musi być ograniczona, przynajmniej z góry.

Napisałam do prowadzącego.
Oto jego komentarz do zadania " zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Żadnych założeń dotyczących ograniczoności zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) nie ma. Trzeba rozpatrzeć wszystkie
przypadki"
jak to więc ładnie ( tj.czytelnie) zapisać??

No to trzeba powtórzyć pytanie o używaną przez Ciebie definicję:

szw1710 pisze:Czy kres górny definiujesz jako liczbę rzeczywistą, czy może być \(\displaystyle{ +\infty?}\)

JK

PS. Czyś Ty mężczyzna czy niewiasta?