Matematyka.pl

Mam problem z paroma granicami

1. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\((0,0)} \frac{e^\frac{-1}{x^2+y^2}}{x^4+y^4}}\)

2.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\((0,0)} \frac{x-y}{(x+y)^3}}\)

3.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\((0,0)} \frac{xy}{(x^2+y^2)^2}}\)

4.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\((0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}}\)

5.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\((0,0)} \frac{3xy^2+y^3}{x^2+y^2}}\)

6.\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\((0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}}\)

Miło by było otrzymać jakieś wskazówki. Zasadniczo odnośnie tych granic, wiem że albo wykazujemy że nie ma granicy biorąc 2 ciągi, dla których funkcja dąży do różnych wartości,albo jest to zazwyczaj 0, czyli ograniczamy z góry. PRzerobiłem trochę przykładów, ale przy tych nie mam pomysłu.

1) Nie wiem, czy da się szybciej, ale na ćwiczeniach robiliśmy to podstawiając współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ \lim_{\left( x,y\right) \to \left( 0,0\right) } \frac{e^\frac{-1}{x^2+y^2}}{x^4+y^4}=\begin{vmatrix} x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{bmatrix} = \lim_{r \to 0} \frac{e ^{- \frac{1}{r^2} } }{r^4\left( \sin^4 t+\cos^4 t\right) }}\)
Potem można zapisać \(\displaystyle{ \sin^4 t+\cos^4 t}\) inaczej jako \(\displaystyle{ 1- \frac{1}{2}\left( \sin 2t\right)^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le 1- \frac{1}{2}\left( \sin 2t\right)^2 \le 1}\) czyli \(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{1- \frac{1}{2}\left( \sin 2t\right)^2} \le 2}\), zatem to jest ograniczone
\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{e ^{- \frac{1}{r^2} } }{r^4}=0}\) stosując regułę de l'Hospitala, a potem mamy \(\displaystyle{ 0 \cdot \text{coś ograniczonego}}\), więc granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

2) Na razie nie mam pomysłu.

3) Wychodzą dwie różne granice, jak się podstawi
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_n= \frac{1}{n} \\ y_n= \frac{1}{n} \end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} x_n= \frac{1}{n^2} \\ y_n= \frac{1}{n} \end{cases}}\)

4) Tak samo jak w 3)

6) Zauważ, że \(\displaystyle{ \left| \frac{xy}{x^2+y^2} \right| \le \frac{1}{2}}\)
(można pominąć moduł w mianowniku i pomnożyć to przez \(\displaystyle{ 2\left( x^2+y^2\right)}\), otrzymamy \(\displaystyle{ 2\left| xy\right| \le x^2+y^2}\), czyli \(\displaystyle{ x^2-2\left| xy\right|+y^2 \ge 0}\))
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}= xy\frac{xy}{x^2+y^2}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{\left( x,y\right) \to (0,0)}xy=0}\) i znowu mamy \(\displaystyle{ 0}\) pomnożone przez coś, co jest ograniczone.

5) Podstawiamy \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}x=r\cos t \\ y=r\sin t\end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{3r^2\sin^2 t\left( r\sin t+r\cos t\right) }{r^2}= \lim_{r \to 0} 3r\sin^2t\left( \sin t+\cos t\right)=0}\)

Podpowiedzi do rozwiązania bez użycia współrzędnych biegunowych: