Własności wartości oczekiwanej
: 7 paź 2012, o 16:51
1. Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) beda dwoma zmiennymi losowymi. Przyjmijmy nastepujace
oznaczenia:
\(\displaystyle{ X \wedge Y = min(X, Y )}\) oraz \(\displaystyle{ X \vee Y = max(X, Y )}\).
Wykaz, ze
\(\displaystyle{ E(X \vee Y ) = EX + EY - E(X \wedge Y )}\).
2. Wykaz, ze dla ciagłej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) zachodzi równosc
\(\displaystyle{ min_a E|X - a| = E|X - m|}\),
gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest mediana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
3. Wykaz, ze
\(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X - a)2 = 0}\), wtedy i tylko wtedy gdy, \(\displaystyle{ EX = a}\).
Wypisz niezbedne załozenia na \(\displaystyle{ F_X}\) i \(\displaystyle{ f_X}\).
Tutaj udało mi się dojść do tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X - a)2 = \frac{d}{da} (EX^2 - 2aEX + Ea^2) = -2EX + \frac{d}{da} Ea^2}\).
Jak teraz policzyć \(\displaystyle{ \frac{d}{da} Ea^2}\)?
oznaczenia:
\(\displaystyle{ X \wedge Y = min(X, Y )}\) oraz \(\displaystyle{ X \vee Y = max(X, Y )}\).
Wykaz, ze
\(\displaystyle{ E(X \vee Y ) = EX + EY - E(X \wedge Y )}\).
2. Wykaz, ze dla ciagłej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) zachodzi równosc
\(\displaystyle{ min_a E|X - a| = E|X - m|}\),
gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest mediana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
3. Wykaz, ze
\(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X - a)2 = 0}\), wtedy i tylko wtedy gdy, \(\displaystyle{ EX = a}\).
Wypisz niezbedne załozenia na \(\displaystyle{ F_X}\) i \(\displaystyle{ f_X}\).
Tutaj udało mi się dojść do tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{da} E(X - a)2 = \frac{d}{da} (EX^2 - 2aEX + Ea^2) = -2EX + \frac{d}{da} Ea^2}\).
Jak teraz policzyć \(\displaystyle{ \frac{d}{da} Ea^2}\)?