Matematyka.pl

Współczynniki 5, 6 i 7 wyrazu rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ (1+x)^n}\) są w podanej kolejności wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(\displaystyle{ n}\)

Współczynniki te to:
\(\displaystyle{ {n\choose 4} \ \ , \ \ {n\choose 5} \ \ , \ \ {n\choose 6}}\)
Ponieważ tworzą one ciąg arytmetyczny wiec:
\(\displaystyle{ {n\choose 5}-{n\choose 4}={n\choose 6}-{n\choose 5} \\ 2\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot5}-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}\)

Rozwiązaniami tego równania sa n=0 , n=1, n=2, n=3, n=7 lub n=14.
Ponieważ z treści zadania wynika, że jest 5, 6, 7 wyraz rozwinięcia , więc n=7 lub n=14.