Matematyka.pl

Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest równe p. Wykonujemy doświadczenie do momentu uzyskania 2 sukcesów. Zmienna losowa X to liczba przeprowadzonych prób. Wyznaczyć rozkład zmiennej X, tzn. podać jej funkcję prawdopodobieństwa.

Skorzystałam ze wzoru \(\displaystyle{ P = {n\choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}}\), gdzie:
n - ilość niezależnych prób
k - ilość sukcesów

Skoro "doświadczenie" kończy się po uzyskaniu 2 sukcesów, tzn., że jeden z sukcesów mam osiągnąć w ostatniej, n -tej próbie. Tzn., że mam uzyskać dokładnie jeden sukces w pierwszych n -1 próbach.

Prawdopodobieństwo uzyskania 1 sukcesu w n-1 próbach wyszło mi:
\(\displaystyle{ P = (n-1) \cdot p \cdot (1-p)^{n-2}}\)

Natomiast prawdopodobieństwo uzyskania 1 sukcesu w jednej próbie, to po prostu p.

Rozkład zmiennej X będzie iloczynem tych dwóch prawdopodobieństw?

Bardzo proszę o sprawdzenie mojego toku myślenia.

Rozkład zmiennej X będzie iloczynem tych dwóch prawdopodobieństw?

Tak.

Dobrze rozumujesz. Ogólnie, gdy kończymy po uzyskaniu \(\displaystyle{ k}\) sukcesów to jest to rozkład Pascala z parametrem \(\displaystyle{ k}\).

A jak policzyć wartość oczekiwaną?

Wiem, że
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X)}\).
Czy w miejsce prawdopodobieństwa wstawiam wyliczone powyżej, a za k przyjmuję 2(dwa sukcesy)?

\(\displaystyle{ k}\) to jest indeks przebiegający liczby od zera do \(\displaystyle{ n}\).

No tak, racja. To w takim razie będzie to iloczyn liczby prób i prawdopodobieństwa?

Z definicji, to będzie tak
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k)}\)
przy czym wiemy już, że
\(\displaystyle{ P(X=k)= (k-1) \cdot p \cdot (1-p)^{k-2} \cdot p}\)
Pozostaje podstawić i policzyć tę sumę.