Matematyka.pl

Czy dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n >1}\), istnieje wielomian jednej zmiennej rzeczywistej o współczynnikach całkowitych stopnia \(\displaystyle{ n}\), mający \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków niewymiernych?

Myślałem o wzorach Viete'a, ale nie widzę zależności między współczynnikami a pierwiastkami w ogólnym przypadku. Podobnie z indukcją - nie widzę związku między założeniem a tezą.

Mamy wzór \(\displaystyle{ (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=x^2-a}\). Podstawmy za liczbę \(\displaystyle{ a}\) jakąś całkowitą liczbę dodatnią. W ten sposób możemy utworzyć wielomian drugiego stopnia o żądanej własności, a także jeżeli mamy już jakiś wielomian stworzyć wielomian stopnia o \(\displaystyle{ 2}\) większego. Aby zakończyć wystarczy wskazać wielomian trzeciego stopnia o żądanych własnościach, jest nim np. \(\displaystyle{ x^3-3x+1}\).