Wartość oczekiwana liczby par
: 1 paź 2012, o 13:20
Mam problem z zadaniem: sześciu chłopców i sześć dziewcząt ustawiamy losowo w pary. Jaka jest wartość oczekiwana liczby par różnej płci?
Zrobiłam rozkład zmiennej losowej X oznaczającej liczbę par różnej płci, ale nie sumuje mi się do jedynki i nie wiem, gdzie robię błąd .
Zmienna X może przyjmować wartości 0,2,4,6.
Przestrzenią probabilistyczną jest tu rodzina 6ciu par wybranych z 12 osób. Jej moc to \(\displaystyle{ \frac{ {12 \choose 2} {10 \choose 2} {8 \choose 2} {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{6!}= \frac{12!}{ 2^{6}6! }}\). Niech \(\displaystyle{ A_{i}=}\) jest dokładnie i par różnej płci.
Zatem:
\(\displaystyle{ |A_{0}|=\frac{ {6 \choose 2}^{2} {4 \choose 2}^{2}}{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{\frac{6!}{2^{6}}}{ \frac{12!}{ 2^{6}6! }}=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)
\(\displaystyle{ |A_{2}|=\frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2} {4 \choose 2}^{2} }{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=2)=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)
\(\displaystyle{ |A_{4}|=\frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2}\cdot \frac{4\cdot 4}{2}\cdot \frac{3\cdot 3}{2}}{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=4)=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)
\(\displaystyle{ |A_{6}|= \frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2}\cdot \frac{4\cdot 4}{2}\cdot \frac{3\cdot 3}{2}\cdot \frac{2\cdot 2}{2}}{6!}=\frac{2\cdot 6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=6)=\frac{2\cdot 6!\cdot 6!}{12!}}\)
Ale ten rozkład nie sumuje mi się do jedynki. Gdzie robię błąd?
Zrobiłam rozkład zmiennej losowej X oznaczającej liczbę par różnej płci, ale nie sumuje mi się do jedynki i nie wiem, gdzie robię błąd .
Zmienna X może przyjmować wartości 0,2,4,6.
Przestrzenią probabilistyczną jest tu rodzina 6ciu par wybranych z 12 osób. Jej moc to \(\displaystyle{ \frac{ {12 \choose 2} {10 \choose 2} {8 \choose 2} {6 \choose 2} {4 \choose 2} }{6!}= \frac{12!}{ 2^{6}6! }}\). Niech \(\displaystyle{ A_{i}=}\) jest dokładnie i par różnej płci.
Zatem:
\(\displaystyle{ |A_{0}|=\frac{ {6 \choose 2}^{2} {4 \choose 2}^{2}}{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{\frac{6!}{2^{6}}}{ \frac{12!}{ 2^{6}6! }}=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)
\(\displaystyle{ |A_{2}|=\frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2} {4 \choose 2}^{2} }{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=2)=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)
\(\displaystyle{ |A_{4}|=\frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2}\cdot \frac{4\cdot 4}{2}\cdot \frac{3\cdot 3}{2}}{6!}=\frac{6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=4)=\frac{6!\cdot 6!}{12!}}\)
\(\displaystyle{ |A_{6}|= \frac{\frac{6\cdot 6}{2}\cdot \frac{5\cdot 5}{2}\cdot \frac{4\cdot 4}{2}\cdot \frac{3\cdot 3}{2}\cdot \frac{2\cdot 2}{2}}{6!}=\frac{2\cdot 6!}{2^{6}}}\), zatem \(\displaystyle{ P(X=6)=\frac{2\cdot 6!\cdot 6!}{12!}}\)
Ale ten rozkład nie sumuje mi się do jedynki. Gdzie robię błąd?