Matematyka.pl

1) \(\displaystyle{ 2^{x^{2}} < 5^{x}}\)


2) \(\displaystyle{ 2^{\sqrt{x}} = \sqrt{16^{\sqrt{x}}} -2}\)


3) \(\displaystyle{ \log _{2}x \cdot \log _{3}x < \log _{3}16}\)

W zadaniu 3. poprawnym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4} ; 0 \right)}\), ale wychodzi mi tylko \(\displaystyle{ (0;4)}\) . Skąd bierze się ta \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)? A co to zadania 1 i 2 - nie mam pojęcia. Myślę nad wprowadzeniem jakiegoś logarytmu w zadaniu 1. ale nie wiem jakiego i co w sumie to by mi dało, a drugie na razie bez pomysłu.

Z góry dziękuję za pomoc.

3.

\(\displaystyle{ \log_2 x \cdot \log_3 x<\log_3 16 \\
\frac{\log_3 x}{\log_3 2} \cdot \log_3 x <\log_3 16 \\
\log^2_3 x<\log_3 16 \cdot \log_3 2 \\
\log^2_3 x<4\log^2_3 2 \\
\left( \frac{\log_3 x}{2\log_3 2} \right)^2<1 \\
t= \frac{\log_3 x}{2\log_3 2} \\
t^2<1 \Leftrightarrow t\in(-1,1) \\
-1< \frac{\log_3 x}{2\log_3 2}<1 \\
-1< \frac{1}{2}\log_2 x<1 \\
-2<\log_2 x<2 \\
x>\frac{1}{4} \wedge x\in(0,4) \\
x\in \left( \frac{1}{4},4 \right)}\)
oczywiście musi być \(\displaystyle{ x>0}\), ale tutaj to nie ma wpływu na przedział

W drugim sugerowałbym przerzucić \(\displaystyle{ 2}\) na drugą stronę, po czym podnieść stronami do kwadratu. Dalej podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) i tw. Bezout albo jakieś "sprytne" rozpisanie.
W pierwszym może coś takiego: \(\displaystyle{ x ^{2}<\log _{2}5 ^{x}}\)

Albo tak (pierwsze):

\(\displaystyle{ \log _{5} \left( 2^{x^{2}}\right) < \log_{5} \left( 5^{x}\right) \\ x^2\log_52 < x \\ x^2\log_52-x<0 \\ x\left( x \cdot \log_52-1\right)<0 ...}\)