Matematyka.pl

Poszukują ładnego dowodu, lub przykładu, że zbieżność operatora względem normy nie implikuje zbieżności silnej tego operatora , tzn.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}||T_nx-Tx||\to 0}\) \(\displaystyle{ \forall x\in X, \ T_n,T:X\to X}\) to niekoniecznie

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}||T_n-T||\to 0}\)

Zdaje się, że nie znajdziesz kontrprzykładu

\(\displaystyle{ 0 \leftarrow ||T_{n}x-Tx||=||(T_{n}-T)x||}\), a supremum tego ostatniego po \(\displaystyle{ ||x||=1}\) daje normę operatora. A skoro to zbiega dla każdego \(\displaystyle{ x}\), więc dla tych z norma jeden też, więc nie powinien istnieć kontrprzykład.

Rozważ, \(\displaystyle{ T_n , T:\ell_p \rightarrow \ell_p}\), \(\displaystyle{ T_n ((x_{\mu} )_{\mu =1}^{\infty } ) =(x_{\mu +n} )_{ \mu =1}^{\infty } , T ((x_{\mu} )_{\mu =1}^{\infty } ) =(0 )_{ \mu =1}^{\infty } .}\)

Oczywiście zbieżność operatorowa implikuje zbieżność silną, jak zatem pokazać, że implikacja w drugą stronę nie zachodzi?

Pokaż, że \(\displaystyle{ ||T_n ||=1}\)

hym??

wiem że \(\displaystyle{ ||T_n||=\sup_{||x||<1}||T_n x||,}\)

gdzie

\(\displaystyle{ ||T_nx||^p=\sum|x_i|^p \to 0}\)

czy tak?

Polecam zapoznać się z:

... ssenzweiga

(funkcjonały to nic innego jak operatory o wartościach w ciele).

Inny przykład. Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera \(\displaystyle{ (e_n)_{n=1}^\infty}\) (oznaczmy przez \(\displaystyle{ (e_n^*)_{n=1}^\infty}\) ciąg funkcjonałów stowarzyszonych z tą bazą). Zdefiniujmy rzutowania bazowe wzorem

\(\displaystyle{ P_n(x) = \sum_{k=1}^n e_k^*(x)e_k}\).

Wówczas \(\displaystyle{ P_n(x)\to x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), ale \(\displaystyle{ P_n}\) mają skończenie wymiarowy obraz, więc ich granica jednostajna (gdyby istniała) musiałaby być operatorem zwartym. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha nigdy nie jest zwarta.